Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1 ,A_2 \ldots A_n $ независимых в совокупности равна \begin{equation} \label { eq2 } P( A )=1-P( { \overline A _1 } )\cdot P( { \overline A _2 } )\cdot \ldots \cdot P( { \overline A _n } ), \qquad (2) \end{equation} где событие А = { появление хотя бы одного из событий $A_1 ,A_2 \ldots A_n $ } ,

обозначив $P( { \overline A _1 } )=q_1 \,,\,P( { \overline A _2 } )=q_2 \ldots $получим \begin{equation} \label { eq3 } P( A )=1-q_1 \cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_n \qquad (3) \end{equation}

Если $q_1 =q_2 =\ldots q_n$, то \begin{equation} \label { eq4 } P(A)=1-q^n \qquad (4) \end{equation}

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из 1-го орудия $P_1 =0,8$ из 2-го $P_2 =0,7$ из 3-го $P_3 =0,9$. Производится залп из всех орудий. Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение:

Введем событие А = { хотя бы одно попадание в цель } . $P( A )=1-q_1 \cdot q_2 \cdot q_3$

• Вероятность промаха из первого орудия $q_1 =1-P_1 =1-0,8=0,2$
• Вероятность промаха из второго орудия $q_2 =1-P_2 =1-0,7=0,3$
• Вероятность промаха из третьего орудия $q_3 =1-P_3 =1-0,9=0,1$

Тогда вероятность хотя бы одного попадания будет равна $P( A )=1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,1=1-0,006=0,994$