Cайты для работы и коммуникаций

Лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать!

Теоремы Муавра-Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа { 1730 г. Муавр и Лаплас }

Если вероятность $p$ появлений события $A$ постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, то вероятность $P_n ( k )$ - того, что событие $A$ появится $k$ раз в $n$ испытаниях, равна приближенно { чем больше $n$, тем точнее } значению функции $y=\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } =\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )$

при $x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $. Имеются таблицы, где помещены значения функции $\varphi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } $

итак \begin{equation} \label { eq2 } P_n ( k )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \qquad (2) \end{equation}

функция $\varphi ( x )=\varphi ( { -x } )$ -четная.

Пример. Найти вероятность того, что событие $A$наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании $p=0,2$.

Решение. Если $p=0,2$ тогда $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $

$ \begin{array} { l } x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } =\frac { 80-400\cdot 0,2 } { \sqrt { 400\cdot 0,2\cdot 0,8 } } =\frac { 80-80 } { \sqrt { 400\cdot 0,16 } } =0 \\ \varphi ( 0 )=0,3989\,,\,P_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 0,3989 } { 20\cdot 0,4 } =\frac { 0,3989 } { 8 } =0,0498 \\ \end{array} $

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, тогда вероятность $P_n ( { k_1 ,k_2 } )$ того, что событие $A$ наступит от $k_ { 1 } $ до $k_ { 2 } $ раз в $n$ испытаниях, равна $ P_n ( { k_1 ,k_2 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int\limits_ { x_1 } ^ { x_2 } { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } =\Phi ( { x_2 } )-\Phi ( { x_1 } )$

где $x_1 =\frac { k_1 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } , x_2 =\frac { k_2 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $ ,где

$\Phi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } $ -находят по таблицам

$\Phi ( { -x } )=-\Phi ( x )$-нечетная

Нечетная функция. Значения в таблице даны для $x=5$, для $x>5,\Phi ( x )=0,5$

Пример. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. Если брака 10%, то стандартных изделий 90%. Тогда по условию, $n=625, p=0,9, q=0,1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Получим $ \begin{array} { l } P_ { 625 } (550,575)\approx \Phi ( { \frac { 575-562,5 } { \sqrt { 625\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )- \Phi ( { \frac { 550-562,5 } { \sqrt { 626\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1,67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end{array} $

Далее:

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Теорема о заведомо полныx системаx

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

Специальные векторные поля

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Определение криволинейного интеграла второго рода

Поток векторного поля через поверхность

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Вычисление объёмов

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Инвариантное определение дивергенции

Частные случаи векторных полей

Огравление $\Rightarrow $