Теоремы Чебышева и Бернулли

Теорема Чебышева

Пусть имеем достаточно большое число независимых случайных величин $x_1 ,x_2 ,x_3 ,...,x_n $ дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа, то для любого сколь угодно малого положительного $\xi >0$, вероятность неравенства будет как угодно близка к 1.

$ \mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { \sum\limits_ { i=1 } ^n { x_i } } { n } -\frac { \sum\limits_ { i=1 } ^n { M( { x_i } ) } } { n } }\right|<\xi } )=1 $

Пусть испытания независимы и проводятся в одинаковых условиях. Для частного случая, когда математические ожидания случайных величин одинаковы

$M( { x_1 } )=M( { x_2 } )=...M( { x_n } ) $,тогда

$\sum\limits_ { i=1 } ^n { M( { x_i } )=M( x )\cdot n } $, тогда $\mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { \sum\limits_ { i=1 } ^n { x_i } } { n } -\frac { M( x )\cdot n } { n } }\right|<\xi } )=1$

или $\mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \overline x -M( x ) }\right|<\xi } )=1$, где $\overline x =\frac { \sum { x_i } } { n } $- среднее арифметическое.

Смысл этого выражения в том, что начиная с некоторого момента для любого даже сколь угодно малого числа $\xi >$0 будет верно неравенство $\left| { \bar { x } -M(x) }\right|<\xi $ т.е. $\overline x $ обладает свойством устойчивости.

Терема Чебышева имеет большое практическое значение. Она позволяет используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания и наоборот.

Так, проводя какие-нибудь измерения, можно получить большое число результатов измерения, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет мало отличаться от истинного значения параметра.

Теорема Бернулли

Теорема Если вероятность события $A$ в каждом из $n$ независимых испытаний постоянна и равна $p$, то при достаточно большом $n$ для любого $\xi >0$ справедливо неравенство $\mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { m } { n } -p }\right|\leqslant \xi } )=1$

$m-$ это число появления события $A$ в $n-$ испытаниях.

Замечание Теорему Бернулли можно применить к неравенству Чебышева. $ P( { \left| { x-a }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 } $

Пусть надо оценить вероятность того, что отклонение числа $m-$ появления события $A$ в $n-$ испытаниях от ожидаемого результата $np$ не превысит $\xi $. Тогда роль случайной величины играет число $m$, а $M(x)=np$ и $ P( { \left| { m-np }\right|<\xi } )\geqslant 1-\frac { npq } { \xi ^2 } $