Проверка гипотезы о показательном распределении

Функция распределения имеет вид: $ f( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,при\,x<0 } \\ { \lambda e^ { -\lambda x } ,при\,x\geqslant 0 } \\ \end{array} } }\right. $

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline x _b $.
2. Принять в качестве оценки параметра $\lambda $ величину $\lambda =\frac { 1 } { \overline x _b } $.
3. Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( { x_i ,x_ { i+1 } } )$ по формуле $P_i =P( { x_i <X<x_ { i+1 } } )=e^ { -\lambda x_i } -e^ { -\lambda x_ { i+1 } } $.
4. Вычислить теоретические частоты $n_i' =np_i $.
5. Сравнить теоретические и эмпирические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв $k=S-2$.
6. Строится аналогичная таблица
7. Выбирают уровень значимости $\alpha $ и вычисляют $\chi _ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$
8. Проверяют критерий $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$, если неравенство выполняется, то гипотеза не отвергается иначе - отвергается

\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n_i & P_i^\ast & n_i' & ( { n_i -n_i' } )& ( { n_i -n_i' } )^2& \frac { ( { n_i -n_i' } )^2 } { n_i' } & Контроль~ \frac { n_i^2 } { n_i' } \\ \hline 1& & & & & & & \\ \hline 2& & & & & & & \\ \hline 3& & & & & & & \\ \hline 4& & & & & & & \\ \hline 5& & & & & & & \\ \hline 6& & & & & & & \\ \hline & & & & & & \sum = \chi _ { набл } ^2 & \chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i' } -n } \\ \hline \end{array}

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Функция плотности нормального распределения. $f( x )=\frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2\pi } } e^ { -\frac { ( { x-a } )^2 } { 2\sigma ^2 } } $.

Для того, чтобы проверить гипотезу требуется

1. Вычислить $\overline { x_b } $ и $\sigma _b =\sqrt { D_b } $
2. Нормируем случайную величину $X$ переходя к случайной величине $Z$ , где $z=\frac { x_i -\overline x _b } { \sigma _b } $, где $x_i -$ концы и начала интервалов. Наименьшее значение $Z=-\infty $ наибольшее $\to +\infty $
3. Вычисляются теоретические вероятности попадания величины $Z$ в интервал $( { z_i ,z_ { i+1 } } ), P_i =P( { z_i <Z<z_ { i+1 } } )=\Phi ( { z_ { i+1 } } )-\Phi ( { z_i } )$, где $\Phi ( z )-$ функция Лапласа находится из таблиц.
4. Вычисляют теоретические частоты $n_i' =np_i $, $n$ - объём выборки.
5. Вычисляют величину $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ( { n_i -n_i' } )^2 } { n_i' } } $, контроль $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i' } -n } $.
6. Вычисляют число степеней свободы $k=S-1-r = S-3$, где $S -$ число интервалов.
7. Строится таблица
8. Выбирают уровень значимости $\alpha $и вычисляют $\chi _ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$
9. Проверяют критерий $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$, если неравенство выполняется, то гипотеза принимается иначе - отвергается.

\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n_i & Z~интервал& P_i^\ast & n_i' & ( { n_i -n_i' } )& ( { n_i -n_i' } )^2& \frac { ( { n_i -n_i' } )^2 } { n_i' } & Контроль ~ \frac { n_i^2 } { n_i' } \\ \hline 1& & & & & & & & \\ \hline 2& & & & & & & & \\ \hline 3& & & & & & & & \\ \hline 4& & & & & & & & \\ \hline 5& & & & & & & & \\ \hline 6& & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \sum = \chi _ { набл } ^2 & \chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i' } -n } \\ \hline \end{array}