Плотность распределения
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$ \begin{equation} \label { eq2 } { F } '( x )=f( x ) \end{equation}
Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.
Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( { a,b } )$ равна определенному интегралу от плотности. \begin{equation} \label { eq3 } P( { a\leqslant X<b } )=\int\limits_a^b { f( x )dx } \end{equation}
Геометрически этот результат можно трактовать так: вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение принадлежащее интервалу $( { a,b } )$ равна площади криволинейной трапеции.
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
Зная плотность распределения вероятностей $f( x )$ можно найти функцию распределения $F( x )$ по формуле: \begin{equation} \label { eq4 } F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } \end{equation}
Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график. $ f( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,при\,x=1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ,при\,1<x\leqslant 3 } \\ { 0,при\,x>3 } \\ \end{array} } }\right. $
Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.
$F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } $
Воспользуемся формулой
- при $x\leqslant 1$ из условия $f( x )=0,\Rightarrow F( x )=0 $
- при $\,1<x\leqslant 2,\, f( x )=\frac { 1 } { 2 } $, тогда
$F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits_ { -\infty } ^1 { 0dx } +\int\limits_1^x { \frac { 1 } { 2 } dx } =\frac { 1 } { 2 } x\left| { _ { _1 } ^ { ^x } }\right.=\frac { x-1 } { 2 } $
если $x>3$, тогда $ F( x )=\int\limits_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits_ { -\infty } ^1 { 0dx } +\int\limits_1^3 { \frac { 1 } { 2 } dx } +\int\limits_3^x { 0dx } =\frac { x } { 2 } \left| { _ { _1 } ^ { ^3 } }\right.=1. $
Итак $ F( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,если\,x\leqslant 1 } \\ { \frac { x-1 } { 2 } ,если\,1<x\leqslant 3 } \\ { 1,если\,x>3 } \\ \end{array} } }\right. $
Построим график функции распределения
Свойства плотности распределения
1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )\geqslant 0$.
Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная $ { F } '( x )=f( x )$ неотрицательная функция.
Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.
График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.
2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( { -\infty ,\infty } )$ равен 1. \begin{equation} \label { eq5 } \int\limits_ { -\infty } ^\infty { f( x ) } dx=1 \end{equation}
Если $X$ задана на $( { a,b } )$, то $\int\limits_a^b { f( x )dx=1 } $
Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.
Далее:
Свойства двойного интеграла
Булевы функции от $n$ переменных
Замена переменных в тройном интеграле
Логические операции над высказываниями
Нормальные формы
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Частные случаи векторных полей
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Нахождение потенциала
Теорема Остроградского
Инвариантное определение дивергенции
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Механические приложения двойного интеграла
Определение двойного интеграла
Теорема Стокса
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()