Начальные и центральные теоретические моменты

Опр Начальным моментом порядка $k$ случайной величины $X$ называется математическое ожидание величины $X^k$ для дискретной случайной величины \begin{equation} \label { eq1 } \nu _k =M( { X^k } ) \qquad (1) \end{equation}

и для непрерывной величины $\nu _k =\int\limits_ { -\infty } ^\infty { x^kf( x )dx } $ при $k=1$ получаем $ \nu _1 =M( X ) $ математическое ожидание случайной величины $Х$

При $k=2$ получаем $ \nu _2 =M( { X^2 } ) $ математическое ожидание $X^2$.

Используя эти моменты можно формулу дисперсии записать в виде: \begin{equation} \label { eq2 } D( X )=M( { X^2 } )-( { M( X ) } )^2=\nu _2 -\nu _1 ^2 \qquad (2) \end{equation}

Кроме моментов случайной величины $X$ рассмотрим моменты отклонения $X-M( X )$

Опр. Центральным моментом порядка $k$ случайной величины $X$ наз. математическое ожидание величины $( { X-M( X ) } )^k$ { отклонения } \begin{equation} \label { eq3 } M_k =M( { X-M( X ) } )^k \qquad (3) \end{equation} при $k=1$ имеем: \begin{equation} \label { eq4 } M_1 =M( { X-M( X ) } )=0 \qquad (4) \end{equation}

Математическое ожидание отклонения

при $k=2$ имеем: \begin{equation} \label { eq5 } M_2 =M( { X-M( X ) } )^2=D( X ) \qquad (5) \end{equation}

Момент называется центральным, т.к. отклонение от { центра } - математического ожидания.

Для непрерывной величины $ M_k =\int\limits_ { -\infty } ^\infty { ( { X_i -M( X ) } )^kf( x )dx } $

сравнивая { 2 } и { 5 } получим: $ \nu _2 -\nu _1^2 =M_2 $

исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получим $ \begin{array} { l } M_3 =\nu _3 -3\nu _2 \nu _1 +2\nu _1 ^3 \\ M_4 =\nu _4 -4\nu _3 \nu _1 +6\nu _2 \nu _1 ^2-3\nu _1^4 \\ \end{array} $

Моменты более высоких порядков применяются редко.