Математическое ожидание, его свойства
Числовые характеристики д.с.в. Математическое ожидание
Не всегда удобно пользоваться законом распределения д.с.в. иногда бывают удобнее числовые характеристики. Одной из таких характеристик является математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению с.в.
Опр. Математическим ожиданием д.с.в. называется сумма произведений всех возможных значений с.в. на их вероятности \begin{equation} \label { eq6 } M( X )=x_1 p_1 +x_2 p_2 +\ldots +x_n p_n =\sum\limits_ { i=1 } ^n { x_i p_i } . \end{equation} Вероятностный смысл М.О. состоит в том, что М.О. приближенно равно среднему арифметическому $\overline X $наблюдаемых значений с.в. $ M( X )\approx \overline X . $
Свойства математического ожидания
- Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной $M( C )=C$
- Постоянный множитель можно выносить за знак М.О. $M( { X\cdot C } )=C\cdot M( X )$
- М.О. 2-х независимых с.в. равно произведению математических ожиданий $M( { X\cdot Y } )=M( X )\cdot M( Y )$ Следствие св. 3 М.О. нескольких независимых с.в. есть произведение М.О. $M( { X_1 \cdot X_2 \cdot \ldots \cdot X_n } )=M( { X_1 } )\cdot M( { X_2 } )\cdot \ldots \cdot M( { X_n } )$
- М.О. суммы двух с.в. есть сумма М.О. $M( { X+Y } )=M( X )+M( Y )$ Следствие св. 4 $M( { X_1 +X_2 +\ldots +X_n } )=M( { X_1 } )+M( { X_2 } )+\ldots +M( { X_n } )$
Теорема: Пусть производится n- независимых испытаний. Вероятность появления события $A$ постоянна и равна р. Тогда М.О. числа появления события $A$ в $n$ - независимых испытаниях есть $M( X )= np$
Пример. Дано два закона распределения дискретных случайных величин
$$ \begin{array} { c|lcr } \Psi & 0.5 & 1 \\ \hline P & 0.3 & 0.7 \\ \end{array} $$
$$ \begin{array} { c|lcr } \xi & \xi _1 =1 & \xi _2 =2 \\ \hline P & 0.2 & 0.8 \\ \end{array} $$
Найти М.О. произведения случайных величин $M( { \xi \cdot \Psi } )=M( \xi )\cdot M( \Psi )=( { 1\cdot 0,2+2\cdot 0,8 } )\cdot ( { 0,5\cdot 0,3+1\cdot 0,7 } )=1,53$
Отклонение С.В. от ее математического ожидания
Пусть $X$ - случайная величина. Тогда $M( X )$- ее М.О. Рассмотрим разность $X-M( X )$.
Опр. Отклонением называется разность между значением С.В. и ее М.О. $X-M( X )-$отклонение
Пусть с.в. имеет закон распределения $$ \begin{array} { c|lcr } X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} $$
Напишем закон распределения для отклонения. Для того, чтобы отклонение приняло значение $x_1 -M( X )$ достаточно, чтобы С.В. приняла значение $x_1 $. Вероятность этого события $p_1 $. Следовательно, вероятность отклонения $x_1 -M( X )$ так же будет $p_1 $.
Тогда закон распределения для отклонения примет вид:
$$ \begin{array} { c|lcr } X-M( X ) & x_1 - M(x) & x_2 - M(x) & \cdots & x_n - M(x) \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} $$
Теорема М.О. отклонения равно нулю. $M( { X-M( X ) } )=0$.
Далее:
Теорема о полныx системаx в Pk
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице
Лемма о построении множества $[F]_{x1,x2}$
Решение задач с помощью алгебры высказываний
Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода
Свойства двойного интеграла
Механические приложения тройного интеграла
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Определение двойного интеграла
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Класс M. Теорема о замкнутости класса M
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()