Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки

Элементы математической статистики

Математическая статистика изучает массовые случайные явления методами теории вероятностей. Отличие вероятности от статистики в том, что вероятность есть модель, свойства которой изучаются.

На практике мы имеем ряд данных и по этим данным надо подобрать подходящую модель и уже по подобранной модели можно посчитать вероятностные характеристики. Термин "статистика" имеет несколько смысловых значений:

1. Совокупность показателей характеризующих процесс,
2. Совокупность приёмов сбора информации,
3. Совокупность приёмов обработки информации,
4. Разработка новых методов обработки информации.

Мы будем изучать статистику только в смысле термина "3". Выделим основные приёмы математической статистики.

1. Оценка неизвестной функции распределения.
2. Оценка параметров распределения.
3. Проверка статистических гипотез.
4. Корреляционный анализ.

Статистическое распределение выборки

В статистике применяются уже известные нам термины: генеральная совокупность, выборка. Выборка должна быть представительной или репрезентативной { т. е. отражать набор данных } .

Установление статистических закономерностей основано на изучении статистических данных - сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак { случайная величина Х } .

Различные значения признака случайной величины называются вариантами.

Опр Последовательность вариантов, записанная в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину и - непрерывным { интервальным } , если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём

$x_1-$ наблюдалоcь $n_1$ раз

$x_2-$ наблюдалось $n_2$ раз

$x_3-$ наблюдалось $n_3$ раз

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$x_k-$ наблюдалось $n_k$ раз и

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$\sum { n_i =n } -$ объему выборки

$n_1 ,n_2 ,...,n_k -$ числа наблюдений называемые абсолютными частотами.

$x_1 ,x_2 ,...,x_k -$ наблюдаемые значения называемые вариантами.

Отношения $n_1 ,n_2 ,...,n_k$ к объёму выборки называются относительными { эмпирическими } частотами $ W_i =\frac { n_i } { n } $

Определение Статистическим распределением выборки называется перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот, представленных в виде таблицы.

Задать статистическое распределение можно в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

Замечание В качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал.

Пример. Имея конкретную выборку: 2, 6, 12, 6, 6, 2, 6,12, 12, 6, 6, 6, 12, 12, 6, 12, 2, 6, 12, 6 (n=20), записать вариационный ряд и таблицу статистического распределения выборки.

Решение. Составим вариационный ряд - запишем варианты в возрастающем порядке 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12.

Статистическое распределение выборки

\begin{array} { |l|l|l|l| } \hline Варианты& 2& 6& 12 \\ \hline Абсолютные~частоты - n_i & 3& 10& 7 \\ \hline Относительные~частоты~ W_i =\frac { n_i } { n } & \frac { 3 } { 20 } & \frac { 10 } { 20 } & \frac { 7 } { 20 } \\ \hline \end{array}

Контроль: $\frac { 3 } { 20 } +\frac { 10 } { 20 } +\frac { 7 } { 20 } =1$.