Cайты для работы и коммуникаций
Лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать!
Практически 100%-ая копия полюбившегося многим инстаграм, идеально подойдет для портфолио, презентации работ своим клиентам или как отклик на понравившуюся вакансию. Молодой ресурс, но администраторы оперативно реагируют на предложения и вопросы.
Дискретная случайная величина
Случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
Опр Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно из возможных значений, заранее неизвестное.
Например. Подбрасывается монета. Заранее не известен результат. Выпадения орла или решки - случайно. Случайные величины обозначают большими буквами Х, У:
$X( { x_1 ,x_2 ,\ldots x_n } )- значения\,x_1 \ldots x_n -$ возможные значения случайной величины.
Имеется три типа случайных величин: непрерывные, дискретные, смешанные.
Опр Дискретной { прерывной } называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения. Число случайных величин может быть конечным или бесконечным.
Опр Непрерывной - называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного промежутка.
Опр Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать в виде таблицы:
так как события $х_ { 1 } ,х_ { 2 } ,\ldots ,х_ { n } $ образуют полную группу то $р_ { 1 } + р_ { 2 } + \ldots + р_ { n } = 1 $
Пример. Написать закон распределения для суммы выпавших очков при подбрасывании двух игральных костей.
Пояснения к примеру: число благоприятных событий m :
$ 2) \left\{ { 1 } \right.\left. 1 \right\} -всего\,1\,, $
$ 3) \left\{ { \begin{array} { l } 2 1 \\ \,1 2 \\ \end{array} } \right\} \,-всего\,2\,, $
$4) \left\{ { \begin{array} { l } 2 2 \\ 3 1 \\ 1 3 \\ \end{array} } \right\} -всего\,3\,, $
$ 5) \left\{ { \begin{array} { l } 1 4 \\ 4 1 \\ 2 3 \\ 3 2 \\ \end{array} } \right\} -всего\,4, $
$ 6) \left\{ { \begin{array} { l } 1 5 \\ 5 1 \\ 2 4 \\ 4 2 \\ 3 3 \\ \end{array} }\right\} -всего\,5\,, $
$ 7) \left\{ { \begin{array} { l } 2 5 \\ 5 2 \\ 3 4 \\ 4 3 \\ 6 1 \\ 1 6 \\ \end{array} } \right\} -всего\,6\,, $
и так далее. Закон распределения имеет вид:
\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| } \hline X& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12 \\ \hline p& \frac { 1 } { 36 } & \frac { 2 } { 36 } & \frac { 3 } { 36 } & \frac { 4 } { 36 } & \frac { 5 } { 36 } & \frac { 6 } { 36 } & \frac { 5 } { 36 } & \frac { 4 } { 36 } & \frac { 3 } { 36 } & \frac { 2 } { 36 } & \frac { 1 } { 36 } \\ \hline \end{array}
Пример 2. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но делает 5-ть выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Построить закон распределения числа произведенных выстрелов.
Решение: Событие $A =$ { попал в цель } , тогда $\bar A =$ { промах } .
- $(\bar A ' A) =$ { попал со второго раза } ,
- $(\bar A ' \bar A ' A) =$ { попал с третьего раза } ,
- $(\bar A ' \bar A ' \bar A ' A) =$ { попал с четвертого раза } ,
- $(\bar A ' \bar A ' \bar A ' \bar A) =$ { попал с пятого раза } .
Подсчитаем вероятности этих событий.
- $P_ { 1 } (A)= p =0,8$
- $P_ { 2 } (\bar A ' A) = P(\bar A)\cdot P { A } =p\cdot q=0,8\cdot 0,2=0,16$
- $P_ { 3 } (\bar A ' \bar A ' A) = P(\bar A)^ { 2 } \cdot P { A } = p\cdot q^ { 2 } =0,8\cdot 0,2^ { 2 } =0,32$
- $P_ { 4 } (\bar A ' \bar A ' \bar A ' A) = P(\bar A)^ { 3 } \cdot P { A } = p\cdot q^ { 3 } =0,8\cdot 0,2^ { 3 } =0,0064$
- $P_ { 5 } (\bar A ' \bar A ' \bar A ' \bar A) = P(\bar A)^ { 4 } \cdot =q^ { 4 } =0,2^ { 4 } =0,0016$
Контроль:
$\Sigma p_ { i } = 0,8+0,16+0,032+0,0064+0,0016=1$
Закон распределения представим в виде таблицы:
\begin{array} { |l|l|l|l|l|l| } \hline X& 1& 2& 3& 4& 5 \\ \hline p& p& q p& q^ { 2 } p& q^ { 3 } p^ { } & q^ { 4 } \\ \hline p& 0,8& 0,16& 0,032& 0,0064& 0,0016 \\ \hline \end{array}
Функция распределения дискретной случайной величины
Функцией распределения называют функцию $F(x)$, определяющую вероятность того, что случайная величина $X$ в результате испытания примет значение, меньшее $х$, т. е. $F(x)=p(X<x)$. функция распределения д. с. в. строится по ряду распределения. Воспользуемся рядом, полученным в предыдущем примере.
Построим график функции распределения д.с.в.
$ F(x_i )=\left\{ { \begin{array} { l } 0:x\in (-\infty , 1) \\ p_1 =0,8: x\in [\,1,\,2) \\ p_1 +p_2 =0,8+0,16=0,96: x\in [\,2,\,3) \\ p_1 +p_2 +p_3 =0,8+0,16+0,32=0,992: x\in [\,3,\,4) \\ p_1 +p_2 +p_3 +p_4 =0,8+0,16+0,32+0,064=0,9984: x\in [\,4,\,5) \\ p_1 +p_2 +p_3 +p_4 +p_5 =0,8+0,16+0,32+0,064+0,016=1, \\ \,x\in [\,5,\,\infty ] \\ \end{array} }\right. $
Функция распределения дискретной случайной величины - это ступенчатая разрывная функция.
Свойства функции распределения
- функция распределения случайной величины есть не отрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: $0\leqslant F(x)\leqslant 1$.
- функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
- На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице т. е. $F(-\infty )=\mathop { \lim } \limits_ { x\to -\infty } F(x)=0, F(+\infty )=\mathop { \lim } \limits_ { x\to +\infty } F(x)=1$.
- Вероятность попадания случайной величины в интервал $[x_1 ,x_2 )$ равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е. $P(x_1 \leqslant X<x_2 )=F(x_2 )-F(x_1 )$.
Биномиальное распределение
Если мы подсчитываем вероятность наступления события $k$ раз при $n$ испытаниях по формуле Бернулли $ P_n ( k )=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ { n-k } $
Такое распределение вероятности называется биномиальным, потому что правая часть равенства совпадает с общим членом разложения бинома Ньютона. $ ( { p+q } )^n=C_n^n p^n+C_n^ { n-1 } p^ { n-1 } q+C_n^ { n-2 } p^ { n-2 } q^2+\ldots +C_n^k p^kq^ { n-k } +\ldots +C_n^0 p^0q^0 $
Пример. Монета брошена 2 раза. Написать закон распределения случайной величины $X$ - числа выпадений герба.
Решение: Вероятность появления герба $р = 1/2$, не появления $q = 1/2$. Закон распределения будет иметь вид.
\begin{array} { |l|l|l|l| } \hline X& 0& 1& 2 \\ \hline Р_ { 2 } (k)& С_ { 2 } ^ { 0 } p^ { 0 } q^ { 2 } & С_ { 2 } ^ { 1 } p^ { 1 } q^ { 1 } & С_ { 2 } ^ { 2 } p^ { 2 } q^ { 0 } \\ \hline Р & 0,25& 0,5& 0,25 \\ \hline \end{array}
Контроль: $\Sigma р_ { i } =0,25+0,5+0,25=1$
Распределение Пуассона
Пусть производится n испытаний. Вероятность появления события $A$ постоянна и равна P. Для подсчета вероятности появления события $А$ $k$ раз при $n$ испытаниях $P_n ( k )$ можно использовать формулу Бернулли или Лапласа { если $n$ большое, $n>100$ } . Но для массовых и редких явлений { когда $n$ велико, а $p$ мало $(p\leqslant 0,1)$ и $np<10$ лучше применять формулу Пуассона.
$P_n ( k )=\frac { \lambda ^k\cdot e^ { -\lambda } } { k! } $, где $\lambda =np$
$P_n ( { m\leqslant k } )=e^ { -\lambda } \sum\limits_ { m=0 } ^k { \frac { \lambda ^m } { m! } } $
Геометрическое распределение
Пусть вероятность появления события $A$ есть $p$. Не появления- $q$ и испытание заканчивается, если только событие $A$ появилось. Пусть в первых $k-1$ испытаниях событие $A$ не появилось, а в $k$ появилось. Тогда вероятность этого сложного события равна $ P( { x=k } )=q^ { k-1 } \cdot p $
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
$ P( { x=3 } )=q^2\cdot p=0,4^2\cdot 0,6=0,096 $
Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим задачу: В партии из $N$ деталей имеется $n$ стандартных. Наудачу отбирают $m$ деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных $m$деталей $k$ стандартных.
Решение. Общее число исходов - это есть число способов которыми можно извлечь $m$ деталей из $N$ т.е. $C_N^m $.
Число благоприятных исходов: будет сложным событием состоящим в том, что из $n$стандартных деталей $k$штук можно взять числом способов $C_n^k $, а оставшихся $m-k$ нестандартных можно взять из $N-n$ нестандартных числом способов равным $C_ { N-n } ^ { m-k } $. Тогда число благоприятных исходов есть $C_n^k \cdot C_ { N-n } ^ { m-k } $. Вероятность того, что среди отобранных $m$ деталей будет стандартных $k$ есть:
$ P( k )=\frac { C_n^k \cdot C_ { N-n } ^ { m-k } } { C_N^m } $
Далее:
Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$
Инвариантное определение дивергенции
Нахождение потенциала
Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных
Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы
Свойства двойного интеграла
Определение криволинейного интеграла второго рода
Соленоидальное векторное поле
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Механические приложения двойного интеграла
Векторное поле
Поток жидкости через поверхность
Теорема о заведомо полныx системаx
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()