Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f( x )$. Все возможные значения случайной величины $X$ принадлежат промежутку $\left[ { a,b }\right]$.

Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины $X$ называется определенный интеграл. \begin{equation} \label { eq6 } M( X )=\int\limits_a^b { xf( x )dx } \end{equation}

Если $X$ принимает значения на $( { -\infty ,\infty } )$, то \begin{equation} \label { eq7 } M( x )=\int\limits_ { -\infty } ^\infty x f( x )dx \end{equation}

Опр Дисперсией непрерывной случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения. \begin{equation} \label { eq8 } D( x )=\int\limits_a^b { ( { X-M( x ) } )^2f( x )dx } \end{equation}

Если $X$ принимает значения на $( { -\infty ,\infty } )$ \begin{equation} \label { eq9 } D( x )=\int\limits_ { -\infty } ^\infty { ( { x-M( x ) } )^2f( x )dx } \end{equation}

Опр Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины \begin{equation} \label { eq10 } \sigma ( x )=\sqrt { D( x ) } \end{equation}

Замечание. Для вычисления дисперсии удобной является формула \begin{equation} \label { eq11 } D( x )=\int\limits_a^b { x^2f( x )dx } -M^2( x ) \end{equation}

Пример. Найти $M( x )$ и $D( x )$, если с.в. $X$ задана функцией распределения $M( X )=\int\limits_a^b { xf( x )dx } $

$F( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,при\,x\leqslant 0 } \\ { x,при\,0<x\leqslant 1 } \\ { 1,при\,x>1 } \\ \end{array} } }\right. $

Найдем $f( x )=F'( x )=\left\{ { { \begin{array} { \c } { 0,x\leqslant 0 } \\ { 1,0<x\leqslant 1 } \\ { 0,x>1 } \\ \end{array} } }\right. $

$M( x )=\int\limits_0^1 { x\cdot 1dx } =\frac { x^2 } { 2 } \left| { _0^1 =\frac { 1 } { 2 } }\right.$

$ D( x )=\int\limits_0^1 { x^2\cdot 1dx } -M^2( x )=\frac { x^3 } { 3 } \left| { _0^1 -\frac { 1 } { 4 } =\frac { 1 } { 3 } -\frac { 1 } { 4 } =\frac { 1 } { 12 } }\right. $