Векторное поле

Если каждой точке $\mathbf { \textit { M } } $ некоторой области $\mathbf { \textit { V } } $ пространства соответствует значение некоторой векторной величины $\bar { а } (\mathbf { \textit { M } } )$, то говорят, что в области $\mathbf { \textit { V } } $ задано векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$.

Примеры векторных полей - поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

Если в некоторой декартовой системе координат вектор $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ имеет координаты $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { M } } ),\mathbf { \textit { Q } } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { M } } )$, то $\bar { a } (M)=P(M)\bar { i } +Q(M)\bar { j } +R(M)\bar { k } $.

Таким образом, задание векторного поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ эквивалентно заданию трёх скалярных полей $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { Q } } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { M } } )$. Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля.

Кроме того, будем предполать, что векторное поля не имеет особых точек, т.е. $\bar { a } (M)\ne \bar { 0 } $ при $\forall M\in V$, т.е. функции $\mathbf { \textit { P } } , \mathbf { \textit { Q } } , \mathbf { \textit { R } } $ не равны нулю одновременно.

В зависимости от рассматриваемых вопросов для нас будет более предпочтительной какая-либо одна из двух интерпретаций векторного поля - силовая или гидродинамическая. В силовой интерпретации вектор $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ трактуется как сила { тяжести, напряжённости, например } , действующая в точке $\mathbf { \textit { M } } $; в гидродинамической интерпретации $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ рассматривается как поле скоростей текущей в области $\mathbf { \textit { V } } $ несжимаемой жидкости. Как и в случае скалярного поля, мы рассматриваем стационарные векторные поля, т.е. поля, постоянные во времени.