Теорема Стокса
Пусть в пространственной области $\mathbf { \textit { V } } $ задано гладкое векторное поле $\sigma \bar { a } $(M) и $\sigma $ - незамкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограниченная контуром $\mathbf { \textit { C } } $. Единичный вектор нормали $\bar { n } (M)$ выбирается так, что с его конца направление обхода $\mathbf { \textit { C } } $ видно совершающимся против часовой стрелки. Тогда циркуляция поля $\bar { a } $ по контуру $\mathbf { \textit { C } } $ равна потоку ротора этого поля через поверхность $\sigma $: $\oint\limits_C { \bar { a } \cdot d\bar { r } } =\iint\limits_\sigma { rot~\bar { a } \cdot \bar { n } d } \sigma $.
Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной форме. В координатной форме формула Стокса имеет вид
$\oint\limits_C { Pdx+Qdy+Rdz } =\iint\limits_\sigma { \left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)dydz+\left( { \frac { \partial P } { \partial z } -\frac { \partial R } { \partial x } }\right)dxdz+\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } $ или $ \oint\limits_C { Pdx+Qdy+Rdz } =\iint\limits_\sigma { \left[ { \left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)\cos \alpha +\left( { \frac { \partial P } { \partial z } -\frac { \partial R } { \partial x } }\right)\cos \beta z+\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\cos \gamma }\right]d\sigma } . $ Мы примем эту формулу без доказательства.
Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса
Требуется вычислить циркуляцию поля $\bar { a } =y\bar { i } -\bar { j } +xz\bar { k } $ по контуру $\mathbf { \textit { C } } $, образующемуся в результате пересечения поверхности $x+y+z^2=1$ с координатными плоскостями.
Решение. Непосредственное вычисление
$ Ц$=\oint\limits_C { \bar { a } \cdot d\bar { r } } =\oint\limits_C { ydx-dy+xzdz } =\oint\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { \bar { a } \cdot d\bar { r } } + \oint\limits_ { \mathop { BD } \limits^\cup } { \bar { a } \cdot d\bar { r } } +\oint\limits_ { \mathop { DA } \limits^\cup } { \bar { a } \cdot d\bar { r } } $
- На $\mathbf { \textit { AB } } z=dz=0,\,y=1-x,\,dy=-dx$, поэтому $ W_1 =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { \bar { a } \cdot d\bar { r } } =\int\limits_1^0 { \left[ { (1-x)-(-1) }\right]dx } =\int\limits_1^0 { (2-x)dx } =-\left. { \frac { (2-x)^2 } { 2 } }\right|_1^0 = \\ =-2+1/2=-3/2. $
- На $\mathbf { \textit { BD } } x=dx=0,\,y=1-z^2,\,dy=-2zdz$, поэтому $W_2 =\int\limits_ { \mathop { BD } \limits^\cup } { \bar { a } \cdot d\bar { r } } =-\int\limits_1^0 { dy } =-\left. y \right|_1^0 =1$.
- На $\mathbf { \textit { DA } } y=dy=0,\,x=1-z^2,\,dx=-2zdz$, поэтому $W_3 =\int\limits_ { \mathop { DA } \limits^\cup } { \bar { a } \cdot d\bar { r } } =\int\limits_1^0 { (1-z^2)zdz } =\left. { \left( { \frac { z^2 } { 2 } -\frac { z^4 } { 4 } }\right) }\right|_1^0 =-\frac { 1 } { 4 } $.
Итак, Ц$=W_1 +W_2 +W_3 =-\frac { 3 } { 2 } +1-\frac { 1 } { 4 } =-\frac { 3 } { 4 } $.
Вычисление по формуле Стокса
Находим ротор поля $\bar { a } $:$rot~\bar { a } =\left| { \begin{array} { l } \,\,\bar { i } \,\,\,\bar { j } \,\,\,\bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \,\,\,\frac { \partial } { \partial y } \,\frac { \partial } { \partial z } \\ \,y\,\,-1\,\,\,xz \\ \end{array} }\right|=-z\bar { j } -\bar { k } \mathbf { . } $
Дальше требуется определить, что мы должны взять в качестве поверхности $\sigma $ { или, как часто говорят, какую поверхность натянуть на контур $\mathbf { \textit { C } } $ } . В рассматриваемом случае ответ очевиден - единственная поверхность, которая у нас есть, это цилиндрическая поверхность $x+y+z^2=1$, следы которой в координатных плоскостях и образуют контур $\mathbf { \textit { C } } $.
Однако возможны случаи, когда удачный выбор поверхности существенно упрощает вычисления. Пусть, например, контур С - окружность, образованная пересечением параболоида $z=x^2+y^2$ и конуса $z^2=x^2+y^2$. В качестве $\sigma $ можно взять и часть параболоида и часть конуса, опирающиеся на эту окружность, но лучше всего взять часть плоскости $z=1$, ограниченную этой окружностью.
Вернёмся к задаче. Находим нормаль к $\sigma : \bar { n } =\frac { \bar { i } +\bar { j } +2z\bar { k } } { \sqrt { 1+1+4z^2 } } $, знак взят с учётом того, что должно быть $\cos \gamma >0$. Теперь $rot~\bar { a } \cdot \bar { n } =(-\bar { z } j-\bar { k } )\frac { \bar { i } +\bar { j } +2z\bar { k } } { \sqrt { 2+4z^2 } } =-\frac { 3z } { \sqrt { 2+4z^2 } } $, спроецируем $\sigma $ на $\mathbf { \textit { Охz } } : d\sigma =\frac { dxdz } { \vert \cos \beta \vert } =\sqrt { 2+4z^2 } dxdz, rot~\bar { a } \cdot \bar { n } d\sigma =-\frac { 3z } { \sqrt { 2+4z^2 } } \cdot \sqrt { 2+4z^2 } dxdz=-3zdxdz$.
Вычисляем Ц$=\iint\limits_\delta { rot~\bar { a } \bar { n } d\delta } =-3\iint\limits_ { D_ { xz } } { zdz } = =-3\int\limits_0^1 { zdz\int\limits_0^ { 1-z^2 } { dx } } =-3\int\limits_0^1 { (1-z^2)zdz } =-3\left. { \left( { \frac { z^2 } { 2 } -\frac { z^4 } { 4 } }\right) }\right|_0^1 =-\frac { 3 } { 4 } $.
Самостоятельно доказать, что если $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - плоское поле и $\sigma $ лежит в плоскости $\mathbf { \textit { Оху } } $, то формула Стокса сводится к формуле Грина.
Инвариантное определение ротора
Пусть $M\in V$. Возьмём малую плоскую площадку $\sigma $, ограниченную контуром $\mathbf { \textit { C } } $. По теореме Стокса циркуляция по $\mathbf { \textit { C } } $ равна Ц$=\oint\limits_C { \bar { a } \cdot d\bar { r } } =\iint\limits_\sigma { rot~\bar { a } \cdot \bar { n } d } \sigma $. Считая, что $rot~\bar { a } $ мало меняется на $\sigma $ и что поверхностный интеграл равен $rot~\bar { a } (M)\cdot \bar { n } (M)\sigma =\vert rot~\bar { a } (M)\vert \cos \varphi \cdot \sigma $, получим Ц$=\vert rot~\bar { a } (M)\vert \cos \varphi \cdot \sigma $.
Будем теперь крутить площадку вокруг точки $\mathbf { \textit { M } } $, при этом циркуляция меняется вместе с $\cos \varphi $. Максимальное значение циркуляция получит при $\varphi =0$, т.е. когда направления $rot~\bar { a } (M)$ и $\bar { n } (M)$ совпадут. Следовательно, $rot~\bar { a } (M)$ указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна Ц$_ { \mbox { max } } =\vert rot\bar { a } (M)\vert \cdot \sigma $. Модуль ротора определяется соотношением $\vert rot\bar { a } (M)\vert =\frac { \mbox { Ц } _ { \mbox { max } } } { \sigma } $.
Далее:
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Нахождение потенциала
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Несобственные интегралы от неограниченной функции
Инвариантное определение дивергенции
Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл
Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода
Соленоидальное векторное поле
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Свойства тройного интеграла
Упрощение логических функций
Формула Грина
Теорема о предполных классах
Свойства двойного интеграла
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()