Cайты для работы и коммуникаций

Лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать!

Соленоидальное векторное поле

Определение соленоидального поля

Векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется соленоидальным в области $\mathbf { \textit { V } } $, если во всех точках этой области $div\bar { a } (M)=0$.

Согласно этому определению, поле не может иметь в области $\mathbf { \textit { V } } $ источников и стоков, таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: $div\,rot\bar { a } (M)=\nabla \cdot \left[ { \nabla \times \bar { a } }\right]=0$.

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

Свойства соленоидального поля

  1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность $\sigma $, ограничивающую область $V_\sigma \in V$, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.
  2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность $\sigma $ достаточно для соленоидальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Действительно, в разделе Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что $div\bar { a } (M)=\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \Pi } { V } =\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } } { V } \mathbf { , } $ и, так как $\mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } =0$, то $div\bar { a } (M)=0$.
  3. Пусть в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля. Если поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность $\sigma $, содержащую этот источник имеет одно и то же значение. Фраза "в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля" означает, что область $\mathbf { \textit { V } } $, в которой поле соленоидально, неодносвязна из $\mathbf { \textit { V } } $ выколота точка, в которой находится источник. Так, поле электрической напряжённости, создаваемое зарядом $\mathbf { \textit { q } } , \bar { E } =\frac { q } { r^3 } \bar { r } $, соленоидально всюду, кроме точки $r=0$, в которой расположен источник.
  4. Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.

Далее:

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Дифференциальные характеристики векторного поля

Поток векторного поля через поверхность

Механические приложения тройного интеграла

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Вычисление объёмов

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о несамодвойственной функции

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Введение

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Огравление $\Rightarrow $