Соленоидальное векторное поле
Определение соленоидального поля
Векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется соленоидальным в области $\mathbf { \textit { V } } $, если во всех точках этой области $div\bar { a } (M)=0$.
Согласно этому определению, поле не может иметь в области $\mathbf { \textit { V } } $ источников и стоков, таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.
Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: $div\,rot\bar { a } (M)=\nabla \cdot \left[ { \nabla \times \bar { a } }\right]=0$.
Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.
Свойства соленоидального поля
- Поток соленоидального векторного поля через поверхность $\sigma $, ограничивающую область $V_\sigma \in V$, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.
- Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность $\sigma $ достаточно для соленоидальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Действительно, в разделе Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что $div\bar { a } (M)=\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \Pi } { V } =\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } } { V } \mathbf { , } $ и, так как $\mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } =0$, то $div\bar { a } (M)=0$.
- Пусть в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля. Если поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность $\sigma $, содержащую этот источник имеет одно и то же значение. Фраза "в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля" означает, что область $\mathbf { \textit { V } } $, в которой поле соленоидально, неодносвязна из $\mathbf { \textit { V } } $ выколота точка, в которой находится источник. Так, поле электрической напряжённости, создаваемое зарядом $\mathbf { \textit { q } } , \bar { E } =\frac { q } { r^3 } \bar { r } $, соленоидально всюду, кроме точки $r=0$, в которой расположен источник.
- Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.
Далее:
Введение
СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице
Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы
Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному
Несобственные интегралы по неограниченной области
Нахождение потенциала
Векторное поле
Замена переменных в тройном интеграле
Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе
Теорема о полныx системаx в Pk
Соленоидальное векторное поле
Скалярное поле, производная по направлению, градиент
Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
Свойства двойного интеграла
Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()