Поток векторного поля через поверхность

В разделе Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности $\sigma $ за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом $\iint\limits_\sigma { \left( { \bar { v } (M)\cdot \bar { n } (M) }\right)d\sigma } $. Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.

Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.

Определение потока векторного поля через поверхность

Пусть $\sigma $ - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области $\mathbf { \textit { V } } $, в которой задано поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Фиксируем выбором нормали $\bar { n } (M)$ одну из двух сторон поверхности $\sigma $.

Потоком векторного поля $\bar { a } \mathbf { ( } \mathbf { \textit { M } } )$ через поверхность $\sigma $ называется поверхностный интеграл первого рода по $\sigma $ от скалярного произведения $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ на единичный вектор нормали $\bar { n } (M)$ к выбранной стороне поверхности: $\prod=\iint\limits_\sigma { \bar { a } (M)\bar { n } (M)d\sigma } $.

Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как $\bar { a } \cdot \bar { n } =пр_ { \bar { n } } \bar { a } =a_n $, поток может обозначаться $\prod=\iint\limits_\sigma { a_n (M)d\sigma } $. Иногда произведение $\bar { n } d\sigma $ обозначают $\overline { d\sigma } $ и называют этот вектор вектором элементарной площадки, тогда $\prod=\iint\limits_\sigma { \bar { a } (M)\overline { d\sigma } } $.

Если связать $\overline { d\sigma } $ с проекциями $\sigma $ на координатные плоскости:

$ \begin{array} { l } \overline { d\sigma } =\bar { n } d\sigma =(\cos \alpha \bar { i } +\cos \beta \bar { j } +\cos \gamma \bar { k } )d\sigma =(\cos \alpha d\sigma )\bar { i } +(\cos \beta d\sigma )\bar { j } +(\cos \gamma d\sigma )\bar { k } = \\ =\pm dydz\cdot \bar { i } \pm dxdz\cdot \bar { j } \pm dxdy\cdot \bar { k } , \\ \end{array} $

и использовать координатную запись поля $\bar { a } (M)=P(M)\bar { i } +Q(M)\bar { j } +R(M)\bar { k } $, то скалярное произведение в координатной форме даст $\prod=\iint\limits_\sigma { P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy } $, т.е. поток может быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. В таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в зависимости от знака соответствующей координаты нормали.

Далее:

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о нелинейной функции

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Криволинейный интеграл первого рода

Теорема об аналоге СДНФ в Pk

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Поток векторного поля через поверхность

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Формула Грина

Огравление $\Rightarrow $