Инвариантное определение дивергенции

В разделе Дивергенция векторного поля мы определили дивергенцию как выражение в определённой системе координат :

$div\bar { a } (M) = \left( { \frac { \partial P } { \partial x } +\frac { \partial Q } { \partial y } +\frac { \partial R } { \partial z } }\right)(M)$

invariantnoe-opredelenie-divergentsii-0

Теорема Остроградского позволяет понять смысл дивергенции поля в точке $\mathbf { \textit { M } } $ как объективного атрибута векторного поля без использования координатной системы. Пусть $\sigma $ - замкнутая поверхность, окружающая точку $\mathbf { \textit { M } } $, $\mathbf { \textit { V } } $ - тело, заключенное внутри $\sigma $, $\bar { n } $ - вектор единичной внешней нормали к $\sigma $. Тогда $\prod =\iint\limits_\sigma { \bar { a } (M)\cdot \bar { n } (M)d\sigma } =\iiint\limits_V { div\bar { a } \cdot dv } $.

По теореме о среднем для тройного интеграла существует точка $M_1 \in V$ такая, что $\prod =\iiint\limits_V { div\bar { a } \cdot dv } =div\bar { a } (M_1 )\cdot V$. Следовательно, $div\bar { a } (M_1 )=\frac { \prod } { V } $.

Отношение значения некоторой физической величины к объёму принято называть средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к точке $\mathbf { \textit { M } } $, предел средней плотности называется локальным значением плотности в точке $\mathbf { \textit { M } } $. Таким образом, мы можем трактовать $div\bar { a } (M_1 )=\frac { \prod } { V } $ как среднюю плотность потока в объёме $\mathbf { \textit { V } } $.

Будем теперь стягивать $\sigma $ к точке $\mathbf { \textit { M } } $, при этом и $\mathbf { \textit { V } } $ стягивается к точке $\mathbf { \textit { M } } , M_1 \to M$ и, вследствие непрерывности $div\bar { a } , div\bar { a } (M_1 )\to div\bar { a } (M)$. Поэтому $div\bar { a } (M)=\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \prod } { V } =\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } } { V } \mathbf { } $ будет равна плотности потока в точке $\mathbf { \textit { M } } $ и так как плотность потока определяется независимо от выбора какой-либо системы координат, то дивергенция векторного поля инвариантна относительно выбора координатной системы.

Используем теперь гидродинамическую интерпретацию поля для выяснения физического смысла дивергенции. Пусть $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - стационарное поле скоростей несжимаемой жидкости. В каком случае поток $\prod =\iint\limits_\sigma { \bar { a } (M)\cdot \bar { n } (M)d\sigma } =\iiint\limits_V { div\bar { a } \cdot dv } \mathbf { } $ через замкнутую поверхность $\sigma $ может быть отличен от нуля, т.е. в каком случае из $\mathbf { \textit { V } } $ вытекает больше жидкости, чем втекает { при $\prod>0$ } или наоборот { при $\prod<0$ } ?

Ясно, что $\prod>0$ может быть только в том случае, если в $\mathbf { \textit { V } } $ появляется дополнительная жидкость, т.е. в $\mathbf { \textit { V } } $имеются источники поля. $\prod<0$ может быть только в том случае, если в $\mathbf { \textit { V } } $ исчезает часть жидкости, т.е. в $\mathbf { \textit { V } } $ имеются стоки поля. Поэтому $div\bar { a } (M)$ как плотность потока в точке $\mathbf { \textit { M } } $ определяет силу источника { при $div\bar { a } (M)>0$ } или стока { при $div\bar { a } (M)<0$ } в точке $\mathbf { \textit { M } } $.

По аналогии с полем скоростей жидкости считают, что дивергенция определяет силу источников и стоков поля в любом поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$.

Далее:

Теорема Остроградского

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции

Определение двойного интеграла

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Гармонические поля

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Вычисление площадей плоских областей

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Критерий полноты {теорема Поста о функциональной полноте}

Огравление $\Rightarrow $