Гармонические поля

Оператор Лапласа

Пусть функция $\varphi (x,y,z)$ имеет непрерывные вторые частные производные. Вычислим $\Delta \varphi =\frac { \partial ^2\varphi } { \partial x^2 } +\frac { \partial ^2\varphi } { \partial y^2 } +\frac { \partial ^2\varphi } { \partial z^2 } $. Оператор $\Delta =\frac { \partial ^2 } { \partial x^2 } +\frac { \partial ^2 } { \partial y^2 } +\frac { \partial ^2 } { \partial z^2 } $, с помощью которого по функции $\varphi (x,y,z)$ получена функция $\Delta \varphi $, называется оператором Лапласа или лапласианом. Формально его можно получить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла: $ \nabla ^2=\nabla \cdot \nabla =\left( { \frac { \partial } { \partial x } \bar { i } +\frac { \partial } { \partial y } \bar { j } +\frac { \partial } { \partial z } \bar { k } }\right)\left( { \frac { \partial } { \partial x } \bar { i } +\frac { \partial } { \partial y } \bar { j } +\frac { \partial } { \partial z } \bar { k } }\right)=\frac { \partial ^2 } { \partial x^2 } +\frac { \partial ^2 } { \partial y^2 } +\frac { \partial ^2 } { \partial z^2 } =\Delta . $

Можно дать другое представление оператора Лапласа: $\Delta \varphi =\nabla ^2\varphi =\nabla \cdot (\nabla \varphi )=\nabla \cdot grad\varphi =div\,grad\varphi $ и это будет уже инвариантным определением оператора.

Гармонические поля

Скалярное поле $\varphi { M } $ называется гармоническим, если оно удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \varphi =0$ или $\frac { \partial ^2\varphi } { \partial x^2 } +\frac { \partial ^2\varphi } { \partial y^2 } +\frac { \partial ^2\varphi } { \partial z^2 } =0$. Векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется гармоническим, если оно является градиентом некоторой гармонической функции, т.е. $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )=grad\varphi (M)$, где $\Delta \varphi =0$.

Из этого определения следует, что гармоническое векторное поле одновременно потенциально и соленоидально, так как $div,\bar { a } (M)=divgrad \varphi (M)=\Delta \varphi =0$. Верно и обратное: если $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ одновременно и потенциально и соленоидально, то оно является гармоническим. Действительно из потенциальности $\Rightarrow \exists \varphi (M):\bar { a } (M)=grad\varphi (M)$ из соленоидальности $\Rightarrow \mbox { div } \bar { a } (M)=\mbox { div } grad\varphi (M)=0\Leftrightarrow \Delta \varphi =0$, т.е. $\varphi { M } $ - гармонический потенциал. Каждая координата гармонического векторного поля является гармонической функцией.