Частные случаи векторных полей

Векторное поле называется однородным { или постоянным } , если $a(M)=\mathop { \mbox { const } } \limits^\to $.

Векторное поле называется плоским, если все векторы $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ параллельны некоторой плоскости П и одинаковы вдоль каждого перпендикуляра к П. Если система координат введена так, что П совпадает с плоскостью $\mathbf { \textit { Оху } } $, то, очевидно, $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )=P(x,y)\bar { i } +Q(x,y)\bar { j } $. Плоское поле достаточно рассматривать в пределах плоскости $\mathbf { \textit { Оху } } $, так как во всех плоскостях, параллельных $\mathbf { \textit { Оху } } $, оно одинаково.

Для плоского поля $diva=\frac { \partial P } { \partial x } +\frac { \partial Q } { \partial y } $, $rot\bar { a } =\left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \\ PQO \\ \end{array} }\right|=\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\bar { k } $.

Пример плоского поля - магнитное поле, создаваемое током $\mathbf { \textit { I } } $, текущим по бесконечно длинному проводнику. Если ось $\mathbf { \textit { Oz } } $направлена вдоль этого проводника, то вектор напряженности магнитного поля равен $\bar { H } =2I\frac { -y\bar { i } +x\bar { j } } { x^2+y^2 } $, это поле определено везде, кроме оси $\mathbf { \textit { Oz } } $.

Векторное поле называется центральным, если в каждой точке $M\in V$ вектор $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ коллинеарен радиусу-вектору этой точки: $\bar { a } (M)=u(M)\bar { r } (\bar { r } =x\bar { i } +y\bar { j } +z\bar { k } )$.

Так как $div\bar { r } =1+1+1=3, rot\bar { r } =\left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \\ xyz \\ \end{array} }\right|=\bar { 0 } $, то для центрального поля $div\left( { u\cdot \bar { r } }\right)=\bar { r } \cdot gradu+udiv\bar { r } =3u+\bar { r } \cdot gradu$, $rot\left( { u\cdot \bar { r } }\right)=gradu\times \bar { r } +urot\bar { r } =gradu\times \bar { r } $.

Векторное поле называется центрально-симметричным, если оно центрально, и функция $\mathbf { \textit { u } } (\mathbf { \textit { M } } )$ зависит только от расстояния $\mathbf { \textit { r } } $, т.е. от длины радиуса-вектора точки $\mathbf { \textit { M } } : \bar { a } (M)=u(r)\bar { r } (r=\sqrt { x^2+y^2+z^2 } )$

Так как $gradr=\frac { x\bar { i } +y\bar { j } +z\bar { k } } { \sqrt { x^2+y^2+z^2 } } =\frac { \bar { r } } { r } , gradu(r)= { u } '(r)gradr= { u } '(r)\cdot \frac { \bar { r } } { r } $, то для центрально-симметричного поля $div\left( { u(r)\cdot \bar { r } }\right)=\bar { r } \cdot gradu(r)+u(r)div\bar { r } =3u+ { u } '(r)\cdot \bar { r } \cdot \frac { \bar { r } } { r } =3u+r { u } '(r), rot\left( { u(r)\cdot \bar { r } }\right)= \\ = gradu(r)\times \bar { r } +urot\bar { r } =\frac { { u } '(r) } { r } (\bar { r } \times \bar { r } )=\bar { 0 } $.

Найдем вид центрально-симметричного поля, для которого дивергенция равна нулю { в дальнейшем мы будем называть такие поля соленоидальными } : $3u+r { u } '(r)=0\Rightarrow \frac { du } { u } =-3\frac { dr } { r } \Rightarrow \ln \vert u\vert =-3\ln \vert r\vert +\ln \vert C\vert \Rightarrow u=\frac { C } { r^3 } \Rightarrow \bar { a } (M)=\frac { C } { r^3 } \bar { r } $.

Таким образом, соленоидальны только те центрально-симметричные поля, в которых зависимость от $\mathbf { \textit { r } } $ такая же, как в законах Кулона и всемирного тяготения. В связи с этим встают мировоззренческие вопросы о том, вычислял ли Господь Бог дивергенцию, когда создавал Вселенную, и о связи показателя степени в знаменателях законов Кулона и всемирного тяготения с пространственной размерностью мира, в котором мы живём

Векторные линии

Так как вектор $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ определяется длиной и направлением в пространстве, задание в области $\mathbf { \textit { V } } $ поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ равносильно заданию в $\mathbf { \textit { V } } $ полей длин и направлений. Геометрической характеристикой, определяющей в V поле направлений, служит совокупность векторных линий.

Векторной линией поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется любая линия, которая в каждой своей точке $\mathbf { \textit { М } } $ касается вектора $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$.

В силовой интерпретации поля векторными линиями являются силовые линии поля, в гидродинамической - векторные линии есть траектории, по которым движутся частицы жидкости { линии тока } .

Получим дифференциальные уравнения векторных линий в декартовой системе координат.

Пусть векторная линия определяется векторным уравнением $\bar { r } =\bar { r } (t)=x(t)\bar { i } +y(t)\bar { j } +z(t)\bar { k } $. Тогда касательный вектор к этой линии $ { \bar { r } } '(t)=x(t { ) } '\bar { i } +y(t { ) } '\bar { j } +z(t { ) } '\bar { k } $ в любой точке должен быть коллинеарен полю, т.е. $x(t { ) } '\bar { i } +y(t { ) } '\bar { j } +z(t { ) } '\bar { k } =\lambda \left( { P\bar { i } +Q\bar { j } +R\bar { k } }\right)\Rightarrow \frac { dx } { dt } =\lambda P,\frac { dy } { dt } =\lambda Q,\frac { dz } { dt } =\lambda R\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac { dx } { P(x,y,z) } =\frac { dy } { Q(x,y,z) } =\frac { dz } { R(x,y,z) } $

Эта записанная в симметричной форме система из трёх уравнений первого порядка и определяет векторные линии. Так как функции $\mathbf { \textit { P } } , \mathbf { \textit { Q } } , \mathbf { \textit { R } } $ одновременно не обращаются в нуль, то в любой точке одна из них отлична от нуля.

Пусть, например, в точке $М_0 \left( { x_0 ,y_0 ,z_0 }\right)\in V P\left( { x_0 ,y_0 ,z_0 }\right)\ne 0$. Тогда систему можно записать в виде $\frac { dy } { dx } =\frac { Q(x,y,z) } { P(x,y,z) } ;\frac { dz } { dx } =\frac { R(x,y,z) } { P(x,y,z) } $. Функции $\mathbf { \textit { P } } , \mathbf { \textit { Q } } , \mathbf { \textit { R } } $ непрерывно дифференцируемы, поэтому для последней системы выполняются условия теоремы существования и единственности задачи Коши с начальными условиями $y(x_0 )=y_0 ,z(x_0 )=z_0 $. Следовательно, через точку $\mathbf { \textit { M } } _ { 0 } $ проходит, и при том единственная, интегральная кривая системы, которая и будет векторной линией поля.

Пусть, например, поле $\bar { a } =x\bar { i } +y\bar { j } +2x^2\bar { k } $. Тогда векторные линии определяются системой $\frac { dx } { x } =\frac { dy } { y } =\frac { dz } { 2x^2 } $. Решая уравнение $\frac { dx } { x } =\frac { dy } { y } $, получим $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { C } } _ { 1 } \mathbf { \textit { x } } $, из уравнения $\frac { dx } { x } =\frac { dz } { 2x^2 } $ получаем $z=x^2+C_2 $, таким образом, уравнения векторных линий $\left\ { { \begin{array} { l } y=C_1 x, \\ z=x^2+C_2 . \\ \end{array} }\right.$

Пусть $\mathbf { \textit { L } } $ - некоторая кривая в области $\mathbf { \textit { V } } $, не являющаяся векторной линией. Проведём через каждую точку $\mathbf { \textit { L } } $ векторную линию; получившаяся в результате поверхность называется векторной поверхностью. Если $\mathbf { \textit { L } } $ - замкнутая линия, то поверхность называется векторной трубкой. Основное свойство векторной трубки: векторная линия, вошедшая в трубку через поперечное сечение $\sigma _1 $, может выйти из неё только через другое сечение $\sigma _2 $. Действительно, если бы векторная линия пересекла боковую поверхность векторной трубки, то через точку пересечения проходило бы две векторные линии, что, как мы установили, невозможно.

chastnye-sluchai-vektornykh-polei-0

Далее:

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Вычисление площадей плоских областей

Несобственные интегралы по неограниченной области

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Вычисление площади поверхности

Гармонические поля

Дифференциальные характеристики векторного поля

Поток векторного поля через поверхность

Определение криволинейного интеграла второго рода

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Свойства тройного интеграла

Огравление $\Rightarrow $