Поверхностный интеграл первого рода { по площади поверхности } и его свойства

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf { \textit { x,y,z } } \mathbf { } $ задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, на которой определена функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$.$\mathbf { } $

Разобьём поверхность на $n$ частей $\sigma _1 ,\sigma _2 ,\ldots \sigma _i ,\ldots \sigma _n $, на каждой из частей $\sigma _i $ выберем произвольную точку $M_i (x_i ,y_i ,z_i )$, найдём $f(M_i )=f(x_i ,y_i ,z_i )$ и площадь части $\sigma _i $ { которую будем обозначать тем же символом $\sigma _i )$ и составим интегральную сумму $\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(M_i )\cdot \sigma _i } $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots n } diam\sigma _i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения поверхности $\sigma $ на части $\sigma _i (i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M_i $, то функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по поверхности $\sigma $, а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности и обозначается $\iint\limits_\sigma { f(M)\cdot d\sigma } $.

Теорема существования Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на поверхности $\sigma $, то она интегрируема по этой поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода.

1. Линейность. $\iint\limits_\sigma { (\lambda \,f+ } \mu \,g)d\sigma =\lambda \iint\limits_\sigma { fd\sigma } +\mu \iint\limits_\sigma { gd\sigma } $
2. Аддитивность $\iint\limits_ { \sigma _1 \cup \sigma _2 } { fd\sigma } =\iint\limits_ { \sigma _1 } { fd\sigma } \iint\limits_ { \sigma _2 } { fd\sigma } $
3. $\iint\limits_\sigma { d\sigma } =S_\sigma -$ площадь поверхности.
4. Если $f(x,\,y,\,z)\geqslant g(x,\,y,\,z)$, то $\iint\limits_\sigma { fd\sigma \geqslant \iint\limits_\sigma { gd\sigma } } $ { если $f\geqslant 0$, то $\iint\limits_\sigma { fd\sigma } \geqslant 0)$,
5. Теорема об оценке Если $m\leqslant f\left( { x,\,y,\,z }\right)\leqslant M$, то $mS_\sigma \leqslant \iint\limits_\sigma { fd\sigma } \leqslant MS_\sigma $,
6. Теорема о среднем Пусть функция $f(M)=f(x,\,y,\,z)$ непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности $\sigma $. Тогда на поверхности найдется точка С, такая что $f(C)=\frac { 1 } { S_\sigma } \iint\limits_\sigma { f\left( { x,\,y,\,z }\right)d\sigma } $

Доказательство

Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода { записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом } . Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности