Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Масса поверхности

Пусть на поверхности $\sigma $ распределена масса с поверхностной плотностью $\mu (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$. Тогда масса $\mathbf { \textit { m } } $ поверхности равна

$\mathbf { \textit { m } } =\iint\limits_\sigma { \mu (x,y,z)d\sigma } $.

Статические моменты и центр масс

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей $\mathbf { \textit { OYZ } } $, $\mathbf { \textit { OXZ } } $, $\mathbf { \textit { OXY } } $ равны соответственно $M_ { yz } =\iint\limits_\sigma { x\mu d\sigma } , M_ { xz } =\iint\limits_\sigma { y\mu d\sigma } , M_ { xy } =\iint\limits_\sigma { z\mu d\sigma } $

Координаты центра масс поверхности

$\sigma $ равны $\mathbf { \textit { x } } _ { c } =\frac { M_ { yz } } { m } $, $\mathbf { \textit { y } } _ { c } =\frac { M_ { xz } } { m } $, $\mathbf { \textit { z } } _ { c } =\frac { M_ { xy } } { m } $.

Моменты инерции

Момент инерции поверхности $\sigma $ относительно прямой $\mathbf { \textit { L } } $ равен $\mathbf { \textit { I } } _ { L } =\iint\limits_\sigma { r_L^2 \mu d\sigma } $, где $r_L =\mathbf { \textit { r } } _ { L } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ - расстояние от точки { $\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } $ } , лежащей на поверхности $\sigma $, до прямой $\mathbf { \textit { L } } $. В частности, моменты инерции относительно координатных осей $\mathbf { \textit { OX } } ,\mathbf { \textit { OY } } $, $\mathbf { \textit { OZ } } $ равны

$I_x =\iint\limits_\sigma { (y^2+z^2)\mu d\sigma } $,

$I_y =\iint\limits_\sigma { (x^2+z^2)\mu d\sigma } $,

$I_z =\iint\limits_\sigma { (x^2+y^2)\mu d\sigma } $.

Момент инерции относительно точки $\mathbf { \textit { P } } (\mathbf { \textit { x } } _ { 0 } $,$\mathbf { \textit { y } } _ { 0 } $,$\mathbf { \textit { z } } _ { 0 } )$ равен $ I_p =\iint\limits_\sigma { ((x-x_0 )^2+(y-y_0 )^2+(z-z_0 )^2)\mu (x,y,z)d\sigma } $

Момент инерции относительно начала координат равен $ I_0 =\iint\limits_\sigma { (x^2+y^2+z^2)\mu (x,y,z)d\sigma =\frac { 1 } { 2 } (I_x +I_y +I_z ). } $

Пример 1

Найти координаты центра масс полусферы $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { R } } ^ { 2 } ,\mathbf { \textit { z } } \leqslant 0$, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси $\mathbf { \textit { OZ } } $.

Решение

Масса полусферы $\sigma $ равна

$ \begin{array} { l } M=\iint\limits_\sigma { \mu d\sigma =\iint\limits_\sigma { \sqrt { x^2+y^2 } d\sigma = } } \iint\limits_ { x^2+y^2\leqslant R^2 } { \sqrt { x^2+y^2 } \cdot \sqrt { 1+((\sqrt { R^2-x^2-y^2 } { ) } '_x )^2+((\sqrt { R^2-x^2-y^2 } { ) } '_y )^2 } } dxdy= \\ =\iint\limits_ { x^2+y^2\leqslant R^2 } { \sqrt { x^2+y^2 } \cdot \sqrt { 1+\frac { x^2+y^2 } { R^2-x^2-y^2 } } dxdy= } \iint\limits_ { x^2+y^2\leqslant R^2 } { \sqrt { x^2+y^2 } \cdot \frac { Rdxdy } { \sqrt { R^2-x^2-y^2 } } =R\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^R { \frac { r^2dr } { \sqrt { R^2-r^2 } } = } } \\ =2\pi R\int\limits_0^R { \frac { r^2-R^2+R^2 } { \sqrt { R^2-r^2 } } dr=2\pi R\left( { R^2\arcsin \left. { \frac { r } { R } }\right|_0^R -\int\limits_0^R { \sqrt { R^2-r^2 } } dr }\right)=\frac { \pi ^2R^3 } { 2 } . } \\ \end{array} $

{ Мы воспользовались тем, что интеграл $\int\limits_0^R { \sqrt { R^2-r^2 } dr } $ равен четверти площади круга радиуса $\mathbf { \textit { R } } $ , т.е. $\frac { \pi R^2 } { 4 } $ } .

Пример 2

Найти массу поверхности $G:\left\ { { { \begin{array} { * { 20 } c } { x^2+y^2+z^2=16 } \hfill \\ { y\geqslant 0 } \hfill \\ { 0\leqslant z\leqslant 3 } \hfill \\ \end{array} } }\right.$ с поверхностной плотностью $\gamma = 2z^ { 2 } + 3$.

Решение

На рассматриваемой поверхности $z=\sqrt { 16-x^2-y^2 } $,

$\frac { \partial z } { \partial x } =-\frac { x } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } ,\frac { \partial z } { \partial y } =-\frac { y } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } .$ Тогда

$ dS=\sqrt { 1+\frac { x^2 } { 16-x^2-y^2 } +\frac { x^2 } { 16-x^2-y^2 } } dxdy=\frac { 4 } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } dxdy. $

Проекцией $D$ этой поверхности на координатную плоскость $Oxy$ является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу массы поверхности и перехода к полярным координатам, получим:

$ \begin{array} { c } M=4\iint\limits_D { \frac { 2(16-x^2-y^2)+3 } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } } dxdy=4\int\limits_0^\pi { d\varphi } \int\limits_3^4 { \frac { 2(16-\rho ^2)+3 } { \sqrt { 16-\rho ^2 } } } \rho d\rho = \\ =4\pi \left( { -\frac { 1 } { 2 } }\right)\int\limits_7^0 { \frac { 2t+3 } { \sqrt t } } dt=2\pi \int\limits_0^7 { \left( { 2t^ { \frac { 1 } { 2 } } +3t^ { -\frac { 1 } { 2 } } }\right) } dt=2\pi \left( { \frac { 4 } { 3 } t^ { \frac { 3 } { 2 } } +6t^ { \frac { 1 } { 2 } } }\right)\left| { { \begin{array} { * { 20 } c } { ^7 } \hfill \\ { _0 } \hfill \\ \end{array} } }\right.= \\ =2\pi \left( { \frac { 28 } { 3 } \sqrt 7 +6\sqrt 7 }\right)=\frac { 92\sqrt 7 } { 3 } \pi . \\ \end{array} $

Далее:

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Логические операции над высказываниями

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции

Вычисление двойного интеграла

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Криволинейный интеграл первого рода

Частные случаи векторных полей

Свойства потока векторного поля

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Огравление $\Rightarrow $