Cайты для работы и коммуникаций

Лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать!

Формула Гаусса - Остроградского

Формула Гаусса - Остроградского является аналогом формулы Грина - Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Для вывода формулы Гаусса - Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина - Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.

После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса - Остроградского:

$ \iint\limits_S { Pdydz+Qdzdx+Rdxdy } =\iiint\limits_V { \left( { \frac { \partial P(x,y,z) } { \partial x } +\frac { \partial Q(x,y,z) } { \partial y } +\frac { \partial R(x,y,z) } { \partial z } }\right)dxdydz } $

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Гаусса - Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

Имеют место формулы:

$ V=\iint\limits_S { xdydz } =\iint\limits_S { ydxdz } =\iint\limits_S { zdxdy } =\iiint\limits_V { dxdydz } $

Пример 1

Найти формулу вычисления объема шара.

В поперечных сечениях шара { сечения параллельны плоскости $XOY$ } получаются окружности.

Уравнение шара имеет вид: $x^2+y^2+z^2=R^2$

Найти объем шара можно по формуле: $ V=\int\limits_ { -R } ^R { \int\limits_ { -\sqrt { R^2-x^2 } } ^ { \sqrt { R^2-x^2 } } { \int\limits_ { -\sqrt { R^2-x^2-y^2 } } ^ { \sqrt { R^2-x^2-y^2 } } { dzdydx } } } =8\int\limits_0^R { dx\int\limits_ { -\sqrt { R^2-x^2 } } ^ { \sqrt { R^2-x^2 } } { \sqrt { R^2-x^2-y^2 } dy } } = \\ $ $ \begin{array} { l } = 8\int\limits_0^R { \left[ { \frac { y\sqrt { R^2-x^2-y^2 } } { 2 } +\frac { R^2-x^2 } { 2 } \arcsin \frac { y } { \sqrt { R^2-x^2 } } }\right]\mathop { \left| { dx }\right. } \limits_0^ { \sqrt { R^2-x^2 } } } =8\int\limits_0^R { \frac { R^2-x^2 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } dx } =2\pi \left[ { R^2x-\frac { x^3 } { 3 } }\right]\mathop { \left| \right. } \limits_0^R = \frac { 4\pi R^3 } { 3 } \end{array} $

Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам. Это значительно упростит интегрирование.

$ V=\int\limits_0^\pi { d\theta } 2\int\limits_0^\pi { d\varphi } \int\limits_0^R { \rho ^2\sin \varphi d\rho } =2\int\limits_0^\pi { d\theta } \int\limits_0^\pi { \frac { R^3 } { 3 } \sin \varphi d\varphi } =\frac { 2 } { 3 } \int\limits_0^\pi { 2R^3d\theta } =\frac { 4\pi R^3 } { 3 } . $