Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Из формулы Грина $\oint\limits_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $ следует неожиданный результат: если функции $\mathbf { \textit { P } } $ и $\mathbf { \textit { Q } } $ удовлетворяют условию $\frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } =1$, то $\oint\limits_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy= } S(D)$, $S(D)$ - площадь области $\mathbf { \textit { D } } $.

Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций $\mathbf { \textit { P } } $ и $\mathbf { \textit { Q } } $ можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что $\frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } =1$, например, $P=0, Q=x$; $P=-y, Q=0$; $P=-\frac { y } { 2 } ,\;Q=\frac { x } { 2 } $; $P=2xy,\;Q=x^2+y^2+x$ и т.д.

В результате $S(D)=\oint\limits_C { xdy } =-\oint\limits_C { ydx } =\frac { 1 } { 2 } \oint\limits_C { xdy-ydx } $ и т.д.

При этом контур $\mathbf { \textit { C } } $ { граница области $\mathbf { \textit { D } } $ } обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул.

Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом $\frac { x^2 } { a^2 } +\frac { y^2 } { b^2 } =1$. Параметрические уравнения эллипса $x=a\cos t,\;y=b\sin t$, поэтому $S(D)=\frac { 1 } { 2 } \oint\limits_C { xdy-ydx } =\frac { 1 } { 2 } \int\limits_0^ { 2\pi } { ab(\cos ^2t+\sin ^2t)dt } =\pi ab$ - это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.