Свойства криволинейного интеграла второго рода
Для этого интеграла существенны следующие свойства:
1) Линейность
а) свойство суперпозиции $\int\limits_L { ((\vec { a } _1 +\vec { a } _2 ),\,\overrightarrow { dr } )=\int\limits_L { (\vec { a } _1 ,\,\overrightarrow { dr) } } +\int\limits_L { (\vec { a } _2 ,\,\overrightarrow { dr) } } } $
б) свойство однородности $\int\limits_L { \lambda \,\left( { \vec { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } =\lambda \int\limits_L { \left( { \vec { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } $.
Доказательство
Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат. \newline
2) Аддитивность
Если $L=L_1 \cup L_2 \mathbf { , } $ то $\int\limits_L { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { = } \int\limits_ { L_1 } { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { + } \int\limits_ { L_2 } { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { . } $
Доказательство
Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L$_ { 1 } $, так и элементы L$_ { 2 } $. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3) Ориентируемость
$ \int\limits_L { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } = - \int\limits_ { -L } { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } $
Доказательство
Интеграл по дуге $-L$, т.е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо $\overrightarrow { \Delta r_i } $ стоит $-\overrightarrow { \Delta r_i } $. Вынося "минус" из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.
Заметим, что свойство ориентируемости в криволинейном интеграле первого рода отсутствует. Зато в криволинейном интеграле второго рода отсутствуют свойства интегрирования неравенств, теорема об оценке и теорема о среднем, которые есть в криволинейном интеграле первого рода.
Далее:
Поток жидкости через поверхность
Класс M. Теорема о замкнутости класса M
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Векторное поле
Механические приложения двойного интеграла
Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода
Критерий полноты {теорема Поста о функциональной полноте}
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана
Теорема об аналоге СДНФ в Pk
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице
Лемма о построении множества $[F]_{x1,x2}$
Введение
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()