Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Масса

$\mathbf { \textit { m } } $ материальной кривой $\mathop { AB } \limits^\cup $ с плотностью $\mu (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ вычисляется по формуле $m=\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { \mu (x,y,z)d\ell } $.

Пример 1

Найти массу четверти лемнискаты $r^2=a^2\cos 2\varphi $, если плотность выражается формулой $\mu (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } )=k\sqrt { x^2+y^2 } =kr$.

Решение:

$r=a\sqrt { \cos 2\varphi } $, $ { r } '=-a\frac { \sin 2\varphi } { \sqrt { \cos 2\varphi } } $ , поэтому

$m=\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { krd\ell } = k\int\limits_0^ { \pi / 4 } { a\sqrt { \cos 2\varphi } } \cdot \sqrt { a^2\cos 2\varphi +\frac { a^2\sin ^22\varphi } { \cos 2\varphi } } d\varphi = \frac { 1 } { 4 } \pi ka^2$

Статические моменты и координаты центра масс

Пусть плоская материальная кривая $\mathop { AB } \limits^\cup $ имеет плотность $\mu (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } )$.

Статический момент относительно оси $\mathbf { \textit { Ox } } $ определяется по формуле $M_x =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { y\mu (x,y)d\ell } $, относительно оси Oy: $M_y =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { x\mu (x,y)d\ell } $.

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам $ M_ { xy } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { z\mu d\ell } , \quad M_ { xz } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { y\mu d\ell } , \quad M_ { yz } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { x\mu d\ell } $

Координаты центра масс могут быть найдены по формулам

$x_c =\frac { M_ { y } } { m } ,\quad \;y_c =\frac { M_ { x } } { m } \quad $ - для плоской кривой;

$x_c =\frac { M_ { yz } } { m } ,\quad \;y_c =\frac { M_ { xz } } { m } ,\quad \;z_c =\frac { M_ { xy } } { m } \quad -$ для пространственной кривой, где $\mathbf { \textit { m } } $ - масса кривой.

Пример 1

Найти центр масс четверти однородной окружности $x^2+y^2=a^2,x\geqslant 0,y\geqslant 0$

Решение:

Можно считать, что $\mu =1$. Тогда масса кривой равна ее длине $m=\frac { 2\pi a } { 4 } =\frac { \pi a } { 2 } $. Статический момент $M_x $ равен $ M_x =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { yd\ell } =\int\limits_0^a { \sqrt { a^2-x^2 } \cdot \sqrt { 1+\frac { x^2 } { a^2-x^2 } } dx } =a^2. $ Из соображений симметрии $M_y =M_x $, поэтому координаты центра масс равны $ x_c =\frac { M_y } { m } =\frac { 2a } { \pi } ,\quad \;y_c =\frac { M_x } { m } =\frac { 2a } { \pi } . $

Моменты инерции

Моменты инерции плоской кривой $\mathop { AB } \limits^\cup $с плотностью $\mu $ относительно координатных осей вычисляются по формулам $ I_ { Ox } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { y^2\mu d\ell } , \quad I_ { Oy } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { x^2\mu d\ell } ; $ моменты инерции относительно начала координат $ I_0 =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2)\mu d\ell } =I_x +I_y $ В случае пространственной кривой моменты инерции относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам $ I_ { Ox } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (y^2+z^2)\mu d\ell } , \quad I_ { Oy } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+z^2)\mu d\ell } , \quad I_ { Oz } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2)\mu d\ell } , \quad I_0 =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2+z^2)\mu d\ell =\frac { I_ { Ox } +I_ { Oy } +I_ { Oz } } { 2 } } . $

Пример 1

Найти момент инерции относительно оси $\mathbf { \textit { Oz } } $ однородной винтовой линии $\mu =1\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } cos \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { a } } sin \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { z } } =\mathbf { \textit { at } } ; 0 \leqslant \mathbf { \textit { t } } \leqslant 2\pi $

Решение:

$I_ { Oz } =\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2)\mu d\ell } =\int\limits_0^ { 2\pi } { (a^2\cos ^2t+a^2\sin ^2t)\sqrt { a^2+a^2\sin ^2t+a^2\cos ^2t } dt=a^3\sqrt 2 \int\limits_0^ { 2\pi } { dt=2\sqrt 2 \pi a^3 } } $.

Далее:

Логические операции над высказываниями

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Механические приложения тройного интеграла

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Равносильные формулы алгебры высказываний

Булевы функции от $n$ переменных

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Замена переменных в тройном интеграле

СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице

Векторное поле

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Огравление $\Rightarrow $