Криволинейный интеграл первого рода { по длине дуги }

Определение криволинейного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf { \textit { x,y,z } } \mathbf { } $ задана кусочно-гладкая кривая $L=\mathop { AB } \limits^\cup $, на которой определена функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } ).\mathbf { } $

Разобьём кривую точками $A_0 =A,\;A_1 ,\;A_2 ,\ldots ,A_n =B$ на $n$ частей, на каждой из дуг $\mathop { A_ { i-1 } A_i } \limits^\cup $ выберем произвольную точку $M_i (x_i ,y_i ,z_i )$, найдём $f(M_i )=f(x_i ,y_i ,z_i )$ и длину $\Delta l_i $ дуги $\mathop { A_ { i-1 } A_i } \limits^\cup $, и составим интегральную сумму $\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(M_i )\cdot \Delta l_i } $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots n } \Delta l_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги $\mathop { A_ { i-1 } A_i } \limits^\cup \;(i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M_i $, то функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по кривой $L$, а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ по кривой $L$, и обозначается

$\int\limits_L { f(M)\cdot dl } $ или $\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { f(M)\cdot dl } $.

Теорема существования

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на кусочно-гладкой кривой $L$, то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой

В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой $\mathbf { \textit { С } } $. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: $\oint\limits_С { f(M)\cdot dl } $.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1 } . Линейность

а } свойство суперпозиции $\int\limits_L { (f(x,\,y,\,z)+g(x,\,y,\,z))dl=\int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } +\int\limits_L { g(x,\,y,\,z)dl } } $

б } свойство однородности $\int\limits_L { \lambda \,f(x,\,y,\,z)dl } =\lambda \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } $.

Доказательство:

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2 } . Аддитивность

Если $L=L_1 \cup L_2 \mathbf { , } $ то $\int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } \mathbf { = } \int\limits_ { L_1 } { f(x,\,y,\,z)dl } +\int\limits_ { L_3 } { f(x,\,y,\,z)dl } $

Доказательство:

Выберем разбиение области $L$ так, чтобы ни один из элементов разбиения { первоначально и при измельчении разбиения } не содержал одновременно как элементы $L_ { 1 } $, так и элементы $L_ { 2 } $. Это можно сделать по теореме существования { замечание к теореме } . Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3 } . $\int\limits_L { dl } =L$. Здесь $L$ - длина дуги $L$.

4 } . Если на дуге $L$ выполнено неравенство $f(x,y,\,z)\geqslant g(x,y,\,z)$, то

$\mathbf { } \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl\geqslant \int\limits_L { g(x,\,y,\,z)dl } } $

Доказательство:

Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно $g(x,y,\,z)\equiv 0$

5 } . Теорема об оценке

Если существуют константы $m,M$, что $\forall \left( { x,y,\,z }\right)\in L\quad m\leqslant f(x, { \kern 1pt } y,\,z)\leqslant M$, то $ mL\leqslant \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)\leqslant ML } $

Доказательство:

Интегрируя неравенство $m\leqslant f(x, { \kern 1pt } y,\,z)\leqslant M$ { свойство 4 } , получим

$\int\limits_L { mdl } \leqslant \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } \leqslant \int\limits_L { Mdl } $.

По свойству 1 константы $m,M$ можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6 } . Теорема о среднем { значении интеграла }

Существует точка $c(x_c ,y_c ,\,z_c )\in L$, что $f(c)=\frac { 1 } { L } \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } $

Доказательство:

Так как функция $f(x,y,\,z)$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $L$, то существует ее нижняя грань $\mu =\inf _L f(x,y,\,z)$ и верхняя грань $ { \rm M } =\sup _L f(x,y,\,z)$.

Выполнено неравенство $\forall \left( { x,y,\,z }\right)\in L\quad \mu \,L\leqslant \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } \leqslant ML$.

Разделив обе части на $L$, получим $\quad \mu \leqslant \frac { 1 } { L } \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } \leqslant M$.

Но число $\quad \frac { 1 } { L } \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } $ заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция $f(x,y,\,z)$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $L$, то в некоторой точке $с\in L$ функция должна принимать это значение.

Следовательно, $f(c)=\frac { 1 } { L } \int\limits_L { f(x,\,y,\,z)dl } $.

Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:

Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой:

$\int\limits_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { f(M)\cdot dl } =\int\limits_ { \mathop { BA } \limits^\cup } { f(M)\cdot dl } $.

Доказательство:

Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек $M_i $ совпадают { всегда длина дуги $\mathop { A_ { i-1 } A_i } \limits^\cup \quad \Delta l_i \geqslant 0$ } , поэтому равны их пределы при $\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots n } \Delta l_i \to 0$.