Формула Грина

Связность, односвязность, многосвязность

Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

Множество точек { на прямой, на плоскости, в пространстве } называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область { на плоскости, в пространстве } называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

Примеры:

Односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.

Теорема Грина для односвязной области

Пусть на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } $ задана односвязная область$\mathbf { \textit { D } } $, ограниченная кусочно-гладким контуром $\mathbf { \textit { C } } $. На множестве $\bar { D } =D\cup C$ определены непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, имеющие непрерывные частные производные.

Тогда $\oint\limits_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $, при этом контур$\mathbf { \textit { C } } $ обходится так, что область $\mathbf { \textit { D } } $ остаётся слева.

Доказательство

formula-grina-0

formula-grina-1

1). Пусть $\mathbf { \textit { D } } $ - простая область. Докажем сначала, что $\oint\limits_C { P(x,y)dy } =-\iint\limits_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy } $.

$y=\varphi _2 (x)y=\varphi _1 (x)$

Опишем $\mathbf{\textit{D}}$ неравенствами $D:\left({\begin{array}{l} a\leqslant x\leqslant b, \\ \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x). \\ \end{array}}\right.$

Тогда $-\iint\limits_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy } =-\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _x (x) } { \frac { \partial P } { \partial y } dy } } =-\int\limits_a^b { \left. { P(x,y) }\right|_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } dx } =-\int\limits_a^b { P(x,\varphi _2 (x))dx } - +\int\limits_a^b { P(x,\varphi _1 (x))dx } = \\ =\int\limits_a^b { P(x,\varphi _1 (x))dx } -\int\limits_b^a { P(x,\varphi _2 (x))dx } =\int\limits_ { \mathop { ABE } \limits^\cup } { P(x,y)dx } + \int\limits_ { \mathop { FGA } \limits^\cup } { P(x,y)dx } $.

Если контур включает вертикальные участки, такие как $\mathbf { \textit { EF } } $, то на этих участках $\mathbf { \textit { dx } } = 0$, поэтому $\int\limits_ { \mathop { EF } \limits^\cup } { P(x,y)dx } =0$, и $y=\psi _2 (y)y=\psi _1 (y)-\iint\limits_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy } =\int\limits_ { \mathop { ABE } \limits^\cup } { P(x,y)dx } +\int\limits_ { \mathop { EF } \limits^\cup } { P(x,y)dx } +\int\limits_ { \mathop { FGA } \limits^\cup } { P(x,y)dx } =\oint\limits_C { P(x,y)dx } $, что и требовалось доказать.

Равенство $\oint\limits_C { Q(x,y)dy } =\iint\limits_D { \frac { \partial Q } { \partial x } dxdy } $ доказывается точно также:

$\iint\limits_D { \frac { \partial Q } { \partial x } dxdy } =\int\limits_c^d { dy\int\limits_ { \psi _1 (y) } ^ { \psi _2 (y) } { \frac { \partial Q } { \partial x } dx } } =\int\limits_c^d { \left. { Q(x,y) }\right|_ { \psi _1 (y) } ^ { \psi _2 (y) } dy } = \int\limits_c^d { Q(\psi _2 (y),y)dy } -\int\limits_c^d { Q(\psi _1 (y),y)dy } = \\ = \int\limits_ { \mathop { BEFG } \limits^\cup } { Q(x,y)dy } + \int\limits_ { \mathop { GAC } \limits^\cup } { Q(x,y)dy } =\oint\limits_C { Q(x,y)dy } $.

Суммируя равенства $\oint\limits_C { P(x,y)dy } =-\iint\limits_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy } $ и $\oint\limits_C { Q(x,y)dy } =\iint\limits_D { \frac { \partial Q } { \partial x } dxdy } $, получим одну из важнейших формул анализа - формулу Грина $ \oint\limits_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $

2). Пусть теперь $\mathbf { \textit { D } } $ - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком $\mathbf { \textit { АВ } } $ и пусть подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $ - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

formula-grina-2

$\oint\limits_ { ABFA } { Pdx+Qdy=\iint\limits_ { D_1 } { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $ и $\oint\limits_ { AEBA } { Pdx+Qdy=\iint\limits_ { D_2 } { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $.

По свойству аддитивности $\oint\limits_ { ABFA } { Pdx+Qdy } =\oint\limits_ { AB } { Pdx+Qdy } +\oint\limits_ { BFA } { Pdx+Qdy } $, $\oint\limits_ { AEBA } { Pdx+Qdy } =\oint\limits_ { AEB } { Pdx+Qdy } +\oint\limits_ { BA } { Pdx+Qdy } = \oint\limits_ { AEB } { Pdx+Qdy } -\oint\limits_ { AB } { Pdx+Qdy } $

Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам $\mathbf { \textit { АВ } } $ и $\mathbf { \textit { ВА } } $ взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым $\mathbf { \textit { BFA } } $ и $\mathbf { \textit { AEB } } $ даёт интеграл по контуру $\mathbf { \textit { C } } $, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой.

Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

Теорема Грина для многосвязной области

Пусть теперь $\mathbf { \textit { D } } $ многосвязная на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } $. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек.

formula-grina-3

Рассмотрим случай, когда граница области $\mathbf { \textit { D } } $ { на рисунке область заштрихована } состоит из внешнего контура $\mathbf { \textit { C } } $ и внутренних контуров $\mathbf { \textit { C } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { C } } _ { 2 } $.

Соединим контур $\mathbf { \textit { C } } $разрезом $\mathbf { \textit { FM } } $ с контуром $\mathbf { \textit { C } } _ { 1 } $, разрезом $\mathbf { \textit { BG } } $ - с контуром $\mathbf { \textit { C } } _ { 2 } $. { Под словами "соединим разрезом $\mathbf { \textit { BG } } $ " подразумевается то, что мы удалим из $\mathbf { \textit { D } } $ отрезок $\mathbf { \textit { BG } } )$.

Область $ { D } '=D\backslash (BG\cup FM)$ с границей $ { \Gamma } '=\mathop { AB } \limits^\cup \cup BG\cup (C_2 =\mathop { GLKG } \limits^\cup )\cup GB\cup \mathop { BF } \limits^\cup \cup FM\cup C_1 \cup MF\cup \mathop { MA } \limits^\cup $ односвязна, поэтому для неё справедлива формула Грина:

$\oint\limits_ { { \Gamma } ' } { Pdx+Qdy=\iint\limits_ { { D } ' } { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $

Двойные интегралы по областям $\mathbf { \textit { D } } $ и $ { D } '\mathbf { } $ равны { площадь разрезов равна нулю } ; в криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой $ { \Gamma } '$ интегралы по разрезам входят с противоположными знаками { $\int\limits_ { BG } { Pdx } +Qdy$ и $\int\limits_ { GB } { Pdx } +Qdy$, например } и поэтому взаимно уничтожаются, поэтому оказывается справедлива теорема Грина для многосвязной области :

пусть на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } $ дана многосвязная область$\mathbf { \textit { D } } $ с границей $\Gamma $. На множестве $\bar { D } =D\cup \Gamma $ определены непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, имеющие непрерывные частные производные. Тогда $\oint\limits_\Gamma { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } } $, при этом каждая часть полной границы $\Gamma $ обходится так, что область $\mathbf { \textit { D } } $ остаётся слева.

Далее:

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Векторное поле

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Дифференциальные характеристики векторного поля

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Поток векторного поля через поверхность

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Логические операции над высказываниями

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о несамодвойственной функции

Механические приложения тройного интеграла

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Огравление $\Rightarrow $