Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла
Определение двойного интеграла
Пусть на плоскости $\mathbf{ \textit{ Oxy } }$ задана ограниченная замкнутая область $\mathbf{ \textit{ D } }$ с кусочно-гладкой границей, и пусть на области $\mathbf{ \textit{ D } }$ определена функция $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$.
Разобьём область $\mathbf{ \textit{ D } }$ произвольным образом на $\mathbf{ \textit{ n } }$ подобластей $\mathbf{ \textit{ D } }_{ 1 }$, $\mathbf{ \textit{ D } }_{ 2 }$,$\mathbf{ \textit{ D } }_{ 3 }, { \ldots }, \mathbf{ \textit{ D } }_{ n }$, { не имеющих общих внутренних точек }. Символом $\mathbf{ \textit{ s } }(\mathbf{ \textit{ D } }_{ i })$ будем обозначать площадь области $\mathbf{ \textit{ D } }_{ i }$; символом $diam(\mathbf{ \textit{ D } })$ здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области $\mathbf{ \textit{ D } }$: $$ diam(D)=\mathop { \max }\limits_{ P_1 ,P_2 \in D } \rho (P_1 ,P_2 ); $$ символом $d$ обозначим наибольший из диаметров областей $\mathbf{ \textit{ D } }_{ i }$:
$d=\mathop { \max }\limits_{ i=1,2,\ldots ,n } diam(D_i )$.
В каждой из подобластей $\mathbf{ \textit{ D } }_{ i } (\mathbf{ \textit{ i } } = 1,2, { \ldots }, \mathbf{ \textit{ n } })$ выберем произвольную точку $\mathbf{ \textit{ P } }_{ i } = (\mathbf{ \textit{ x } }_{ i }$, $\mathbf{ \textit{ y } }_{ i })$, вычислим в этой точке значение функции $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } }_{ i } ) = \mathbf{ \textit{ f } } (\mathbf{ \textit{ x } }_{ i }, \mathbf{ \textit{ y } }_{ i })$, и составим интегральную сумму $\sum\limits_{ i=1 }^n { f(P_i )\cdot s(D_i ) } $.
Если существует предел последовательности интегральных сумм при
$d=\mathop { \max }\limits_{ i=1,2,\ldots ,n } diam(D_i )\to 0$, не зависящий ни от способа разбиения области $\mathbf{ \textit{ D } }$ на подобласти $\mathbf{ \textit{ D } }_{ i }$, ни от выбора точек $\mathbf{ \textit{ P } }_{ i }$, то функция $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$ называется интегрируемой по области $\mathbf{ \textit{ D } }$, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$ по области $\mathbf{ \textit{ D } }$ и обозначается $\iint\limits_D { f(P)ds }$.
Если расписать значение $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } })$ через координаты точки $\mathbf{ \textit{ P } }$, и представить $\mathbf{ \textit{ ds } }$ как $\mathbf{ \textit{ ds } }=\mathbf{ \textit{ dx dy } }$, получим другое обозначение двойного интеграла: $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy }$. Итак, кратко,
$\iint\limits_D { f(x,y)dxdy }=\iint\limits_D { f(P)ds }=\mathop { \lim }\limits_{ \begin{array}{ l } d\to 0 \ (n\to \infty ) \ \end{array} } \sum\limits_{ i=1 }^n { f(x_i ,y_i )\cdot s(D_i ) } $.
Теорема существования двойного интеграла
Если подынтегральная функция $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }, \mathbf{ \textit{ y } })$ непрерывна на области $\mathbf{ \textit{ D } }$, то она интегрируема по этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы
С геометрической точки зрения { при $f(x, y)\geq 0$ } интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями $s(D_{ i })$ и высотами $f(P_i )$.
Если $f(x,y)\geqslant 0$, то $f(P_i )\cdot s(D_i )$ - объём прямого цилиндра с основанием $\mathbf{ \textit{ D } }_{ i }$ высоты $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } }_{ i })$; вся интегральная сумма $\sum\limits_{ i=1 }^n { f(P_i )\cdot s(D_i ) } $ - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела - высота ступеньки, расположенной над подобластью $\mathbf{ \textit{ D } }_{ i }$, равна $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } }_{ i })$. Когда $d=\mathop { \max }\limits_{ i=1,2,\ldots ,n } diam(D_i )\to 0$, это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью $\mathbf{ \textit{ D } }$, сверху - поверхностью $\mathbf{ \textit{ z } }=\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$, с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области $\mathbf{ \textit{ D } }$, а образующие параллельны оси $\mathbf{ \textit{ Oz } }$. Двойной интеграл $\iint\limits_D { f(P)ds }$ равен объёму этого тела.
Далее:
Упрощение логических функций
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции
Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$
Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Несобственные интегралы от неограниченной функции
Несобственные интегралы по неограниченной области
Частные случаи векторных полей
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Гармонические поля
Логические следствия
Векторное поле
Скалярное поле, производная по направлению, градиент
Специальные векторные поля
Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()