Теорема об алгоритме распознавания полноты

Вопрос о существовании алгоритма, позволяющего для каждой конечной системы $F~=~ { f_1,\dots ,f_s } $ функций из $\mathbb { P_k } $ выяснять, будет она полной или нет, является ключевым вопросом $k$-значных логик.

Теорема. Существует алгоритм распознавания полноты конечной системы $F~=~ { f_1,\dots ,f_s } $ функций из $\mathbb { P_k } $.

Определение. Обозначим через $[F]_ { x1,x2 } $ множество всех функций из $[F]$, зависящих от переменных $x1,x2$

Ключевым моментом доказательства теоремы служит следующая .

Доказательство теоремы. На первом шаге при помощи мы строим классы $\Re_0, \Re_1,\dots , \Re_t$, до момента стабилизации, т.е. строим множество $[F]_ { x1,x2 } = \Re_t$.

На втором шаге по тому, содержится или нет функция Вебба в $[F]_ { x1,x2 } $, определяем, имеет ли место полнота для системы $F$.

{ 1 } Если $V_k(x_1,x_2)\in [F]_ { x1,x2 } $ то $V_k(x_1,x_2)\in [F]$ и, в силу , система $F$ является полной.

{ 2 } Если же $V_k(x_1,x_2)\notin [F]_ { x1,x2 } $, то $V_k(x_1,x_2)\notin [F]$. Следовательно, $F$ не полна.$~~~\square$

Далее:

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Лемма о построении множества $[F]_{x1,x2}$

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Вычисление площадей плоских областей

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных

Равносильные формулы алгебры высказываний

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Формула Грина

Несобственные интегралы по неограниченной области

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Логические операции над высказываниями

Огравление $\Rightarrow $