Решение задач с помощью алгебры высказываний
Отношение логического следования используется при исследовании рассуждений.
Задача 1. Если $6$ – составное число $(S)$, то $12$ – составное число $(W)$. Если $12$ – составное число, то существует простое число, больше чем $12 (P)$. Если существует простое число больше $12$, то существует составное число больше $12 (C)$. Если $6$ делится на $2 (D)$, то $6$ – составное число. Число $12$ составное. Следовательно, $6$ – составное число.
Посылки: $S\rightarrow W , W\rightarrow P , P\rightarrow C , D\rightarrow S , W$
Заключение: $S$
Решение:
$$( S\rightarrow W )\And ( W\rightarrow P )\And ( P\rightarrow C )\And ( D\rightarrow S )\And W\rightarrow S\equiv \overline { S\rightarrow W } \vee \overline { W\rightarrow P } \vee \overline { P\rightarrow C } \vee $$ $$\vee \overline { D\rightarrow S } \vee \bar W\vee S\equiv ( S\And \bar W )\vee ( W\And \bar P )\vee ( P\And \bar C )\vee ( D\And \bar S )\vee \bar W \equiv S\vee ( \ W\And \bar P )\vee $$ $$\vee (P\And \bar C )\vee ( D\And \bar S )\vee \bar W\equiv ( S\vee D )\vee \bar W\vee \bar P\vee ( P\And \bar C )\equiv S\vee D\vee W\vee P\vee C$$
Данное высказывание тавтологией не является, значит из указанных посылок не следует высказывание «6 – составное число».
Задача 2. Я пойду в кино на новую комедию $(A)$ или на занятия по математической логике $(B)$. Если я пойду в кино, то я от всей души посмеюсь $(C)$. Если я пойду на занятия по математической логике, то испытаю удовольствие от логических рассуждений $(D)$. Следовательно, или я от всей души посмеюсь или испытаю удовольствие от логических рассуждений.
Посылки: $A\vee B , A\rightarrow C , B\rightarrow D$
Заключение: $C\vee D$
Значит из данных посылок следует $C\vee D$ .
Решение:
$$( A\vee B )\And ( A\rightarrow C )\And ( B\rightarrow D )\rightarrow ( C\vee D )\equiv \overline { A\vee B } \vee \overline { A\rightarrow C } \vee \overline { B\rightarrow D } \vee C\vee D\equiv $$ $$\equiv (\bar A\And \bar B )\vee ( A\And \bar C )\vee ( B\And \bar D )\vee C\vee D\equiv ( \bar A\And \bar B )\vee A\vee C\vee B\vee D\equiv $$ $$\equiv \bar A\vee B\vee C\vee A\vee D\equiv 1$$
Задача 3. Я пойду домой $(H)$ или останусь здесь и выпью стаканчик $(S)$. Я не пойду домой. Следовательно, я останусь и выпью.
Посылки: $H\vee S , \bar H$
Заключение: $S$
Решение:
$$( H\vee S )\And \bar H\rightarrow S\equiv ( \bar H\And \bar S )\vee H\vee S\equiv ( H\vee \bar H )\And ( \bar S\vee H )\vee S\equiv \bar S\vee H ∨ S\equiv 1$$
Значит, высказывание «я останусь и выпью» является логическим следствием из данных посылок.
Задача 4. В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырёх богатырей погубить Змея. Награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой, и спрашивает их царь: «Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царёва дочь и полцарства?».
Засмущались, добры молодцы и ответы дали туманные:
Сказал Илья Муромец: «Это всё Алёша Попович, царь-батюшка»;
Алёша Попович возразил: «То был Микула Селянинович»;
Микула Селянинович: «Не прав Алёша, не я то»;
Добрыня Никитич: «И не я, царь-батюшка».
Подвернулась тут Баба-Яга и говорит царю: «А прав-то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами».
Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?
Решение задачи:
Определяемся с системой обозначений для логических высказываний:
- $A$ – Алёша Попович;
- $M$ – Микула Селянинович;
- $D$ – Добрыня Никитич.
Илья Муромец первым перед царём-батюшкой слово держал, но про него никто ничего не сказал
- $A$ «Это всё Алёша Попович, царь-батюшка» – это Алёша Попович
- $M$ «То был Микула Селянинович» – это Микула Селянинович
- $\bar M$ «Не прав Алёша, не я то» – это не Микула Селянинович
- $\bar D$ «И не я, царь-батюшка» – это не Добрыня Никитич
Сведём выше сказанное в единое целое { логическая связка «И» } :
$$A\And M\And \bar M \And \bar D$$
Учитывая слова Бабы-Яги: «А прав-то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами»:
- $A\And \bar { M } \And \bar { \bar { M } } \And \bar { \bar { D } } $ Правду сказал Илья Муромец
- $\bar { A } \And { M } \And \bar { \bar { M } } \And \bar { \bar { D } } $ Правду сказал Алёша Попович
- $\bar { A } \And \bar { M } \And \bar { M } \And \bar { \bar { D } } $ Правду сказал Микула Селянинович
- $\bar { A } \And \bar { M } \And \bar { \bar { M } } \And \bar { D } $ Правду сказал Добрыня Никитич
Конструируем итоговую логическую формулу, описывающую логические связи между всеми высказываниями условия задачи. По условию нашей задачи прав только один из богатырей { логическая связка «ИЛИ» } :
$$A \bar { M } \bar { \bar { M } } \bar { \bar { D } } + \bar { A } { M } \bar { \bar { M } } \bar { \bar { D } } + \bar { A } \bar { M } \bar { M } \bar { \bar { D } } + \bar { A } \bar { M } \bar { \bar { M } } \bar { D } $$
Определяем значения истинности логической формулы. Упрощаем формулу.
Используем операции и законы алгебры логики и учитываем, что по условию нашей задачи: $A\And M = 0; A\And D = 0; M\And D = 0$
$$A \bar { M } \bar { \bar { M } } \bar { \bar { D } } + \bar { A } { M } \bar { \bar { M } } \bar { \bar { D } } + \bar { A } \bar { M } \bar { M } \bar { \bar { D } } + \bar { A } \bar { M } \bar { \bar { M } } \bar { D } = $$ $$= A \bar { M } \bar { \bar { M } } \bar { \bar { D } } (A \bar { M } { M } \bar { \bar { D } } = 0) + \bar { A } { M } \bar { \bar { M } } \bar { \bar { D } } (\bar { A } { M } { D } = 0) + $$ $$+ \bar A \bar { M } \bar { M } \bar { \bar { D } } (\bar A\bar { M } { D } ) + \bar { A } \bar { M } \bar { \bar { M } } \bar { D } (\bar { A } \bar { M } { M } \bar { D } = 0) = \bar A\bar M D $$
Ответ: Змея Горыныча победил Добрыня Никитич
Далее:
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Теорема об алгоритме распознавания полноты
Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода
Введение
Свойства потока векторного поля
Вычисление площадей плоских областей
Скалярное поле, производная по направлению, градиент
Теорема Остроградского
Упрощение логических функций
Нормальные формы
Свойства двойного интеграла
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Механические приложения тройного интеграла
Логические операции над высказываниями
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()