Полином Жегалкина. Пример.

Имеем следующую логическую функцию.

$f = xy\vee \bar { y } \bar { z } $. Преобразовать функцию так, чтобы она содержала две операции.

Вспомним таблицу истинности $\oplus$ и $\wedge$:

$x$ $y$ $x\oplus y$ $xy$
$0$ $0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $1$ $0$
$1$ $0$ $1$ $0$
$1$ $1$ $0$ $1$

Составим таблицу истинности:

$x$ $y$ $z$ $\bar { y } $ $\bar { z } $ $xy$ $\bar { y } \bar { z } $ $f$
$0$ $0$ $0$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$
$0$ $0$ $1$ $1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $1$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $0$ $0$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $1$ $1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $1$ $0$ $0$ $1$ $1$ $0$ $1$
$1$ $1$ $1$ $0$ $0$ $1$ $0$ $1$

Запишем общий вид полинома Жегалкина $f = xy\vee \bar { y } \bar { z } = \overset { 0 } { a_ { 123 } } xyz\oplus \overset { 1 } { a_ { 12 } } xy\oplus \overset { 0 } { a_ { 13 } } xz\oplus \overset { 1 } { a_ { 23 } } yz\oplus \overset { 0 } { a_ { 1 } } x\oplus \overset { 1 } { a_ { 2 } } y\oplus \overset { 1 } { a_ { 3 } } z\oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = xy\oplus yz\oplus y\oplus z\oplus 1 $

$f(0,0,0) = \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 1$

$f(0,0,1) = \overset { 1 } { a_ { 3 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 0$

$f(0,1,0) = \overset { 1 } { a_ { 2 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 0$

$f(0,1,1) = \overset { 1 } { a_ { 23 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 2 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 3 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 0$

$f(1,0,0) = \overset { 0 } { a_ { 1 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 1$

$f(1,0,1) = \overset { 0 } { a_ { 13 } } \oplus \overset { 0 } { a_ { 1 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 3 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 0$

$f(1,1,0) = \overset { 1 } { a_ { 12 } } \oplus \overset { 0 } { a_ { 1 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 2 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 1$

$f(1,1,1) = \overset { 0 } { a_ { 123 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 12 } } \oplus \overset { 0 } { a_ { 13 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 23 } } \oplus \overset { 0 } { a_ { 1 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 2 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 3 } } \oplus \overset { 1 } { a_ { 0 } } = 1$