Логические следствия

Формула $B$ называется логическим следствием формул $A_1, A_2, …, A_n$, если при любых значениях входящих в них элементарных высказываний формула $B$ принимает значение истинно всякий раз, когда формулы $A_1, A_2, …, A_n$ принимают значение истинно. Обозначается $A_1, A_2, …, A_n\models B$

Из определения логического следования вытекает:

  1. Тавтология логически следует из любой формулы.
  2. Из противоречия логически следует любая формула.

Из $A$ логически следует $B$ тогда и только тогда, когда тавтологией является $A \rightarrow B$

$A_1, A_2,…, A_n\models B$ тогда и только тогда, когда является тавтологией $A_1\wedge A_2\wedge $ $…\wedge A_n \rightarrow B$

Из формул $A_1, A_2,…, A_n , B$ логически следует $C$ тогда и только тогда, когда из формул $A_1, A_2, …, A_n$ логически следует $B \rightarrow C$

Из $A$ и $B$ логически следует $C$ тогда и только тогда, когда тавтологией является $A\rightarrow (B\rightarrow C)$

Из формул $A_1, A_2, …, A_n$ логически следует $B$ тогда и только тогда, когда тавтологией является $A_1\rightarrow (A_2\rightarrow $ $… (A_n\rightarrow B)…)$

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

Если из $A\models B$, то $A$ называется достаточным условием для $B$, а $B$ – необходимым условием для $A$.

Если вместе с $A\models B$ из $B\models A$, то $A$ называется необходимым и достаточным условием для $B$, а $B$ – необходимым и достаточным условием для $A$.

Далее:

Соленоидальное векторное поле

Вычисление площадей плоских областей

Криволинейный интеграл первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Несобственные интегралы по неограниченной области

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Свойства двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

Вычисление двойного интеграла

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Огравление $\Rightarrow $