Лемма о построении множества $[F]_ { x1,x2 } $
Лемма. Существует алгоритм построения множества $[F]_ { x1,x2 } $.
Доказательство. Построим по индукции последовательность множеств $$\Re_0, \Re_1,\dots , \Re_p, \dots $$ функций от двух переменных $x1,x2$
Базис индукции. Положим $\Re_0 = 0$.
Индуктивный переход. Пусть уже построены множества. $\Re_0, \Re_1,\dots , \Re_p$. Множество $\Re_ { p+1 } $ определяется так: для каждого $j = l,\dots ,s$ рассмотрим всевозможные функции вида.
$$f_1 (H_1(x_1, x_2),\dots , H_n(x_1, x_2)),$$
где $H_1(x_1, x_2)$ есть либо функция из $\Re_p$, либо переменная $x_1$ или $x_2$. Добавив все такие функции к множеству $\Re_p$, мы получим $\Re_ { p+1 } $.
Из построения ясно, что:
(1) если $\Re_ { p+1 } = \Re_ { p } $, то $\Re_ { p+2 } = \Re_ { p + 1 } $ и т.д., т.е. построенная цепочка, множеств стабилизируется;
(2) стабилизация обязательно наступает, поскольку число различных функций от двух переменных $x_1,x_2$ не превосходит $k^ { k^2 } $;
Обозначим через $t$ минимальный номер множества, цепочки, начиная с которого наступает стабилизация. Непосредственно из определения формулы над $[F]$ следует, что $$[F]_ { x1,x2 } = \Re_t~~~\square$$
Далее:
Вычисление объёмов
Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла
Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности
Вычисление двойного интеграла
Векторное поле
Механические приложения тройного интеграла
Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Частные случаи векторных полей
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Поток жидкости через поверхность
Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы
Свойства тройного интеграла
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()