Замена переменных в тройном интеграле

Теорема о замене переменных в тройном интеграле

Пусть в пространстве $\mathbf{\textit{Ouvw}}$ задана область $\mathbf{\textit{G}}$, и пусть отображение $F(M)=M^\ast $ преобразует эту область в область $\mathbf{\textit{V}}$ пространства $\mathbf{\textit{Oxyz}}. $ Будем считать, что отображение $\mathbf{\textit{F}}$ задаётся функциями $F:\left[ {\begin{array}{l} x=x(u,v,w) \\ y=y(u,v,w) \\ z=z(u,v,w) \\ \end{array}} \right.$.

Пусть:

  1. $\mathbf{\textit{F}}$ взаимно однозначно отображает $\mathbf{\textit{G}}$ на $\mathbf{\textit{V}}$;
  2. Функции $\mathbf{\textit{x}}(\mathbf{\textit{u,v,w}})\mathbf{\textit{, y}}(\mathbf{\textit{u,v,w}}), \mathbf{\textit{z(u,v,w)}}$ непрерывно дифференцируемы на $\mathbf{\textit{G}}$ {имеют непрерывные частные производные};
  3. Якобиан $J(u,v,w)=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left| {\begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u}\quad \frac{\partial y}{\partial u}\quad \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v}\quad \frac{\partial y}{\partial v}\quad \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial w}\quad \frac{\partial y}{\partial w}\quad \frac{\partial z}{\partial w} \\ \end{array}} \right|$ не обращается в нуль на $\mathbf{\textit{G}}.$

    Тогда $\iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_G {f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\cdot \left| {J(u,v,w)} \right|\cdot dudvdw}$.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о замене переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим наиболее часто употребляемые криволинейные системы координат в пространстве - цилиндрические и сферические.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: $\mathbf{\textit{r}}$, $\varphi $ и $\mathbf{\textit{z}}$, где $\mathbf{\textit{r}}$ и $\varphi $ - полярные координаты проекции $\mathbf{\textit{M}}^{1}$

zamena-peremennykh-v-troinom-integrale-0

точки $\mathbf{\textit{М}}$ на плоскость$\mathbf{\textit{ Оху}}$, $\mathbf{\textit{z}}$ - аппликата точки $\mathbf{\textit{M}}$. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым: $ \begin{array}{l} x=r\cos \varphi , \\ y=r\sin \varphi , \\ z=z. \\ \end{array} $

Вычислим якобиан этого преобразования: $J(r,\varphi ,z)=\left| {\begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial r}\quad \frac{\partial y}{\partial r}\quad \frac{\partial z}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \varphi }\quad \frac{\partial y}{\partial \varphi }\quad \frac{\partial z}{\partial \varphi } \\ \frac{\partial x}{\partial z}\quad \frac{\partial y}{\partial z}\quad \frac{\partial z}{\partial z} \\ \end{array}} \right|=\left| {\begin{array}{l} \cos \varphi \quad -r\sin \varphi \quad 0 \\ \sin \varphi \quad \;\;r\cos \varphi \quad 0 \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;\quad 0\;\;\;\;\;\quad 1 \\ \end{array}} \right|=r$, следовательно, $\iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_V {f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)\cdot r\cdot drd\varphi dz}$.

Тройной интеграл в сферических координатах

В этих координатах положение точки $\mathbf{\textit{M}}$ в пространстве характеризуется тремя числами: $\mathbf{\textit{r}}$, $\varphi $ и $\theta $, где $\mathbf{\textit{r}}$ - длина радиуса-вектора точки $\mathbf{\textit{M}}$, $\varphi $ - полярный угол проекции $\mathbf{\textit{M}}^{1 }$точки $\mathbf{\textit{М}}$ на плоскость$\mathbf{\textit{ Оху}}$, $\theta $ - угол между радиусом-вектором точки $\mathbf{\textit{M}}$ и осью $\mathbf{\textit{Oz}}$. Формулы перехода от сферических координат к декартовым: $ \begin{array}{l} x=r\sin \theta \cos \varphi , \\ y=r\sin \theta \sin \varphi , \\ z=r\cos \theta . \\ \end{array} $

zamena-peremennykh-v-troinom-integrale-1

Вычислим якобиан этого преобразования:

$=\left| {\begin{array}{l} \;\;\sin \theta \cos \varphi \quad \;\;\;\;\;\sin \theta \sin \varphi \;\;\quad \cos \theta \\ -r\sin \theta \sin \varphi \quad \;\;r\sin \theta \cos \varphi \;\;\;\;\;\quad 0 \\ \;\;r\cos \theta \cos \varphi \quad r\cos \theta \sin \varphi \;\;-r\sin \theta \\ \end{array}} \right|=r^2\sin \theta \left| {\begin{array}{l} \sin \theta \cos \varphi \;\;\;\;\sin \theta \sin \varphi \;\;\quad \cos \theta \\ \;-\sin \varphi \quad \;\;\;\;\cos \varphi \;\;\;\;\;\;\;\;\;\quad 0 \\ \cos \theta \cos \varphi \quad \cos \theta \sin \varphi \;\;-\sin \theta \\ \end{array}} \right|= \\ =r^2\sin \theta \left[ {\cos \theta (-\cos \theta \sin ^2\varphi -\cos \theta \cos ^2\varphi )-\sin \theta (\sin \theta \cos ^2\varphi +\sin \theta \sin ^2\varphi )} \right]=-r^2\sin \theta ,$ следовательно, $\iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{V_{r,\varphi ,\theta } } {f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )\cdot r^2\sin \theta \cdot drd\varphi d\theta }$.