Свойства тройного интеграла

По смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

Линейность

Если функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}}$, $\mathbf{\textit{z}})$, $\mathbf{\textit{g}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}}$, $\mathbf{\textit{z}})$ интегрируемы по области$\mathbf{\textit{ V}}$, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)$ тоже интегрируема по $\mathbf{\textit{V}}$, и $\iiint\limits_V {\,\left[ {\alpha f(P)+\beta g(P)} \right]dv}= \alpha \iiint\limits_V {f(P)dv}+\beta \iiint\limits_V {g(P)dv}$.

Аддитивность

Если область $\mathbf{\textit{V}}$ является объединением двух областей $\mathbf{\textit{V}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{V}}_{2}$, не имеющих общих внутренних точек, то $\iiint\limits_V {f(P)dv}=\iiint\limits_{V_1 } {f(P)dv}+\iiint\limits_{V_2 } {f(P)dv}$.

Интеграл от единичной функции по области

$\mathbf{\textit{V}} \quad \textbf{равен объёму этой области: }\iiint\limits_V {dv}=v(V)\textbf{. }$

Интегрирование неравенств

Если в любой точке $P\in V$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}})$, $\mathbf{\textit{g}}(\mathbf{\textit{P}})$ интегрируемы по области $\mathbf{\textit{V}}$, то $\iiint\limits_V {f(P)dv}\leqslant \iiint\limits_V {g(P)dv}$.

Теоремы об оценке интеграла

Если функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}})$ интегрируема по области $\mathbf{\textit{V}}$, и для $\forall P\in V$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot v(V)\leqslant \iiint\limits_V {f(P)dv}\leqslant M\cdot v(V)$.

Если функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}})$ интегрируема по области$\mathbf{\textit{V}}$, то $\left| {\iiint\limits_V {f(P)dv}} \right|\leqslant \iiint\limits_V {\,\vert f(P)\vert dv}$.

Теорема о среднем

Если функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}})$ непрерывна на области $\mathbf{\textit{V}}$, то существует точка $P_0 \in V$, такая что $\iiint\limits_V {f(P)dv}=f(P_0 )\cdot v(V)$.