Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Пусть в пространстве $\mathbf{\textit{Oxyz}}$ задана ограниченная замкнутая область {объём} $\mathbf{\textit{ V}}$, и пусть на области $\mathbf{\textit{V}}$ определена функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}}$, $\mathbf{\textit{z}})$.

opredelenie-troinogo-integrala-0

Разобьём область $\mathbf{\textit{V}}$ произвольным образом на $\mathbf{\textit{n}}$ подобластей $\mathbf{\textit{V}}_{1}$, $\mathbf{\textit{V}}_{2}$, $\mathbf{\textit{V}}_{3}, {\ldots}, \mathbf{\textit{V}}_{n}$, {не имеющих общих внутренних точек). Символом $\mathbf{\textit{v}}(\mathbf{\textit{V}}_{i})$ будем обозначать объём области $\mathbf{\textit{V}}_{i}$; символом $\mathbf{\textit{d}}$ обозначим наибольший из диаметров областей $\mathbf{\textit{V}}_{i}$: $d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(V_i )$.

В каждой из подобластей $\mathbf{\textit{V}}_{i}\mathbf{\textit{(i}} = 1,2,{\ldots},\mathbf{\textit{n}})$ выберем произвольную точку $\mathbf{\textit{P}}_{i} = (\mathbf{\textit{x}}_{i}, \mathbf{\textit{y}}_{i}, \mathbf{\textit{z}}_{i})$, вычислим в этой точке значение функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}}_{i} ) = \mathbf{\textit{f}} (\mathbf{\textit{x}}_{i}$, $\mathbf{\textit{y}}_{i}$, $\mathbf{\textit{z}}_{i})$, и составим интегральную сумму $\sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )\cdot v(V_i )} $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(V_i )\to 0$, не зависящий ни от способа разбиения области $\mathbf{\textit{V}}$ на подобласти $\mathbf{\textit{V}}_{i}$, ни от выбора точек $\mathbf{\textit{P}}_{i}$, то функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}, \mathbf{\textit{y}}, \mathbf{\textit{z}})$ называется интегрируемой по области $\mathbf{\textit{V}}$, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}, \mathbf{\textit{y}}, \mathbf{\textit{z}})$по области $\mathbf{\textit{V}}$ и обозначается $\iiint\limits_V {f(P)dv}$.

Если расписать значение $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}})$ через координаты точки $\mathbf{\textit{P}}$, и представить $\mathbf{\textit{dv}}$ как $\mathbf{\textit{dv = dx dy dz}}$, получим другое обозначение тройного интеграла: $\iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz}$. Итак, кратко, $\iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_V {f(P)dv}=\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{l} d\to 0 \\ (n\to \infty ) \\ \end{array}} \sum\limits_{i=1}^n {f(x_i ,y_i ,z_i )\cdot v(V_i )} $.

Теорема существования тройного интеграла

Если подынтегральная функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}}$, $\mathbf{\textit{z}})$ непрерывна на области $\mathbf{\textit{V}}$, то она интегрируема по этой области.