Механические приложения тройного интеграла

Пусть $\mathbf{\textit{V}}$ - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы $\mu (P)(P\in V,\mu (P)=\mathop {\lim }\limits_{diam(G)\to 0} \frac{m(G)}{v(G)}$, где $\mathbf{\textit{G}}$ - область, содержащая точку $\mathbf{\textit{Р}}, \mathbf{\textit{m}}(\mathbf{\textit{G}})$ - масса этой области, $\mathbf{\textit{v}}(\mathbf{\textit{G}})$ - её объём}. Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая {раздел $\textbf{Механические приложения двойного интеграла}$}, поэтому просто перечислим их.

Масса тела $m(v)=\iiint\limits_V {\mu (P)dv}$;

Объем тела (V = \large\iiint\limits_G\normalsize {dxdydz} );

Объем тела в цилиндрических координатах

(V = \large\iiint\limits_{S\left( {r,\theta ,z} \right)}\normalsize {rdrd\theta dz} )

Объем тела в сферических координатах

(V = \large\iiint\limits_{S\left( {r,\theta ,\varphi } \right)}\normalsize {{r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi } )

Плотность тела $\mu \left( {x,y,z} \right)$;

Координаты центра тяжести $x_c =\frac{1}{m(V)}\iiint\limits_V {x\cdot \mu (P)dv}$, $y_c =\frac{1}{m(V)}\iiint\limits_V {y\cdot \mu (P)dv}$, $z_c =\frac{1}{m(V)}\iiint\limits_V {z\cdot \mu (P)dv}$;

Моменты инерции

  1. $I_{Oxz} =\iiint\limits_V {y^2\cdot \mu (P)dv}$ {относительно плоскости $\mathbf{\textit{Oxz}}$},
  2. $I_{Oyz} =\iiint\limits_V {x^2\cdot \mu (P)dv}$ {относительно плоскости $\mathbf{\textit{Oyz}}$},
  3. $I_{Oxy} =\iiint\limits_V {z^2\cdot \mu (P)dv}$ {относительно плоскости $\mathbf{\textit{Oxy}}$},
  4. $I_x =\iiint\limits_V {(y^2+z^2)\cdot \mu (P)dv}$ {относительно оси $\mathbf{\textit{Ox}}$},
  5. $I_y =\iiint\limits_V {(x^2+z^2)\cdot \mu (P)dv}$ {относительно оси $\mathbf{\textit{Oy}}$},
  6. $I_z =\iiint\limits_V {(x^2+y^2)\cdot \mu (P)dv}$ {относительно оси $\mathbf{\textit{Oz}}$},
  7. $I_O =\iiint\limits_V {(x^2+y^2+z^2)\cdot \mu (P)dv}=I_{Oxy} +I_{Oyz} +I_{Oxz} $ {относительно начала координат}.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей (x = 0), (y = 0) и (z = 0), с плотностью ({\mu \left( {x,y,z} \right)})

({M_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {x\mu \left( {x,y,z} \right)dV} ), ({M_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {y\mu \left( {x,y,z} \right)dV} ), ({M_{xy}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {z\mu \left( {x,y,z} \right)dV} )

Пример 1

Найти координаты центра тяжести половины шара радиуса $\mathbf{\textit{R}}$, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара.

mekhanicheskie-prilozheniia-troinogo-integrala-0

Решение:

Если ввести координатную систему так, как показано

на рисунке, то $\mu (P)=k\sqrt {x^2+y^2+z^2} = kr$; вычисления ведём, естественно, в сферических координатах:

$m=\iiint\limits_V {kr\cdot r^2\sin \theta drd\varphi d\theta }=k\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^{\pi /2} {\sin \theta d\theta \int\limits_0^R {r^3dr} } = 2\pi k\cdot 1\cdot R^4/4=\pi kR^4/2}$;

$x_c =\frac{1}{m}\iiint\limits_V {x\cdot kr\cdot r^2\sin \theta drd\varphi d\theta }=k\int\limits_0^{2\pi } {\cos \varphi d\varphi \int\limits_0^{\pi /2} {\sin ^2\theta d\theta \int\limits_0^R {r^4dr} } =0} ,$

аналогично $\mathbf{\textit{y}}_{c}$ = 0 {что, впрочем, очевидно и без вычислений};

$z_c =\frac{1}{m}\iiint\limits_V {z\cdot kr\cdot r^2\sin \theta drd\varphi d\theta }=\frac{2k}{\pi kR^4}\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^{\pi /2} {\cos \theta \sin \theta d\theta \int\limits_0^R {r^4dr} } } =\frac{2k}{\pi kR^4}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{R^5}{5}=\frac{2R}{5}$.

Пример 2

Найти моменты инерции однородного цилиндра относительно диаметра основания и оси.

mekhanicheskie-prilozheniia-troinogo-integrala-1

Решение:

Если система координат введена так, как показано на рисунке, то мы должны найти $\mathbf{\textit{I}}_{x}$ {или $\mathbf{\textit{I}}_{y}=\mathbf{\textit{I}}_{x})$ и $\mathbf{\textit{I}}_{z}$.

Вычисляем в цилиндрических координатах. $I_x =\iiint\limits_V {k(y^2+z^2)dxdydz}=k\int\limits_0^{2\pi } {\left( {\frac{R^4}{4}H\sin ^2\varphi +\frac{H^3R^2}{6}} \right)d\varphi } =\frac{\pi kHR^4}{4}+\frac{\pi kH^3R^2}{3}$

$ I_z =\iiint\limits_V {k(x^2+y^2)dxdydz}=\iiint\limits_V {kr^2\cdot rdrd\varphi dz}=k\cdot 2\pi \frac{R^4}{4}\cdot H=\frac{\pi kHR^4}{2}. $