Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины $X$ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа $\xi $, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства $\left| {X-a} \right|\prec \xi $

Заменим его равносильным $-\xi \prec X-a\prec \xi или a-\xi \prec X\prec \xi -a$.

Воспользуемся формулой Лапласа (*) $ P( {\alpha \prec X\prec \beta } )=\Phi ( {\frac{\beta -a}{\sigma }} )-\Phi ( {\frac{\alpha -a}{\sigma }} ) $ получим

vychislenie-veroiatnosti-zadannogo-otkloneniia-0

$\begin{array}{l} P( {\left| {X-a} \right|\prec \xi } )=P( {a-\xi \prec X\prec \xi +a} )=\Phi ( {\frac{( {a+\xi } )-a}{\sigma }} )-\Phi ( {\frac{a-\xi -a}{\sigma }} )= \\ =\Phi ( {\frac{\xi }{\sigma }} )-\Phi ( {\frac{-\xi }{\sigma }} )=2\Phi ( {\frac{\xi }{\sigma }} ) \\ \end{array}$

В частности для $a=0$

$P( {\left| X \right|\prec \xi } )=2\Phi ( {\frac{\xi }{\sigma }} )$

Из рисунка видно, что вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения $\left| X \right|\prec \xi ( {при\,a=0} )$ больше у той кривой, где $\sigma -$ меньше. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу $\sigma , \sigma -$ есть среднее квадратическое отклонение, оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Замечание. Если событие $\left| {X-a} \right|\prec \xi $ осуществляется с вероятностью $P$, то противоположное событие $\left| {X-a} \right|\geqslant \xi $ с вероятностью $1-P=q$

Пример. Случайная величина $X$ распределена нормально. Математическое ожидание 20 и среднее квадратическое отклонение 10. Найти вероятность того, что отклонение от математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3. $ \begin{array}{l} P( {\left| {X-a} \right|\prec \xi } )=2\Phi ( {\frac{\xi }{\sigma }} ) \\ P( {\left| {X-20} \right|<3} )=2\Phi ( {\frac{3}{10}} )=2\Phi ( {0,3} )=2\cdot 0,1179=0,2358 \\ \end{array} $