Виды вероятностей. Теоремы сложения

Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть ограниченность классического определения вероятности неприменимого к испытаниям с бесконечным числом исходов вводят геометрическую вероятность- вероятность попадания точки в область.

$ P=\frac{mes\,q}{mes\,Q} $

для лини $P=\frac{l}{\,L}$ для площади $P=\frac{q}{\,Q}$

Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности радиуса $R_1 =5$ и $R_2 =10$. Найти вероятность попадания точки в кольцо.

Решение: Площадь кольца $S=\pi ( {R_2^2 -R_1^2 } )=\pi ( {75} )$

Площадь большого круга $S=100\,\pi $

Вероятность $P=\frac{75\pi }{100\pi }=0,75$.

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1 Если события А и В - несовместны, то \begin{equation} \label{eq1} P( {A+B} )=P( A )+P( B ) \qquad (1) \end{equation} {несовместны - значит $A\cap B=\emptyset )$.

Пример: Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до одного года равна 0,1, а при эксплуатации сроком до пяти лет - 0,3. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от одного года до пяти лет.

Решение. Введем события:

$A =${выход изделия из строя при эксплуатации сроком до 1-го года},

$B =${выход изделия из строя при эксплуатации от 1-го года до 5-ти}.

$C =${выход изделия из строя при эксплуатации до 5-ти лет}.

Так как $A$ и $B$ - несовместные события {не могут наступить одновременно}, то событие $C=A+B$. Из теоремы сложения несовместных событий - $ P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B) $ найдем вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от одного года до пяти лет. $ P(B)=P(C)-P(A)=0,3-0,1=0,2. $

Теорема 2 Сумма вероятностей противоположных событий равняется единице

$P( A )+P( {\overline A } )=1$ или $p+q=1$, где $P=P( A )$, $q=P( {\overline A } )$.

Следствие Вероятность полной группы несовместных событий $P( {A_1 } )+P( {A_2 } )+\ldots +P( {A_n } )=1$(3)

Опр. Случайные события A и B называются совместными, если при испытании могут произойти оба события т.е. произойдет совмещение событий.

Теорема 3 Вероятность суммы совместных событий равна \begin{equation} \label{eq2} P( {A+B} )=P( A )+P( B )-P( {A\cap B} ) \qquad (2) \end{equation}

Пример: Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было выявлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий - только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Решение. Введем события:

$A =${у изделия не выдержан первый параметр},

$B =${у изделия не выдержан второй параметр}.

$C =${изделие не удовлетворяет стандарту}.

Событию $A$ благоприятствуют $8+3=11$ исходов. Вероятность наступления события $A$ можно найти по формуле классической вероятности $P(A)=\frac{11}{25}$. Событию $B$ благоприятствуют $6+3=9$ исходов. Вероятность наступления события $B$ можно найти по формуле классической вероятности $P(B)=\frac{9}{25}$. Событию $( {A\cdot B} )$, состоящему в том, что у взятой детали не выдержаны оба параметра, благоприятствуют $3$ исхода. Вероятность наступления события $( {A\cdot B} )$ можно найти по формуле классической вероятности $P(A\cdot B)=\frac{3}{25}$. Наступление события $C$ означает, что у взятого наудачу изделия либо не выдержан первый параметр, либо второй, либо оба вместе, т.е. $C=A+B$. Число нестандартных изделий равно $8+6+3=17$. События $A$ и $B$- совместны {могут произойти одновременно}, тогда вероятность наступления события $C$ можно найти по формуле

$ P(C)=P( {A+B} )=P( A )+P( B )-P( {A\cdot B} ). $

Получим, $P(C)=P( {A+B} )=P( A )+P( B )-P( {A\cdot B} )=\frac{11}{25}+\frac{9}{25}-\frac{3}{25}=\frac{17}{25}$.

Условная вероятность

Опр. Событие $A$ называется зависимым от события $B$, если вероятность появления события А зависит от того произошло событие В или нет?

Опр. Условной вероятностью $P_B ( A )$или $P( {A /B} )$ называется вероятность появления события $A$ при условии, что событие В уже произошло.

Пример: В урне 3-и белых и 3-и черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара {событие В}, если при первом испытании был извлечен черный шар {событие А}.

Решение. Всего в урне 6-ть шаров. После первого испытания {извлечение черного шара - событие А} в урне осталось 5-ть шаров из них 3-и белых. Вероятность вытащить белый шар {событие В}, при условии, что 1-м был черный есть {подсчитаем по формуле классической вероятности: m - благоприятные события - три белых шара, n - всевозможные события - всего шаров в урне пять}.

$ P_A ( B )=\frac{m}{n}=\frac{3}{5}. $

Теорема Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого $\begin{equation} \label{eq3} P( {A\cdot B} )=P_B ( A )\cdot P( B ) \qquad (3) \end{equation}$

Следствие Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных $ P( {A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_n } )=P( {A_1 } )\cdot P_{A_1 } ( {A_2 } )\cdot P_{A_1 A_2 } ( {A_3 } )\cdot \ldots \cdot P_{A_1 \ldots A_{n-1} } ( {A_n } ) $

Например: для трех событий $ P( {A\cdot B\cdot C} )=P( A )\cdot P_A ( B )\cdot P_{AB} ( C ) $

Пример: В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

Решение. Введем события:

$A =${1 - я взятая лампа была в употреблении},

$B =${ 2 - я взятая лампа была в употреблении}.

$C =${ обе взятые лампы были в употреблении}.

Событие $C=A\cdot B$. Вероятность того, что первая взятая радиолампа была в употреблении, подсчитаем по формуле классической вероятности: m - благоприятные события - три лампы были в употреблении, n -всевозможные события - всего ламп в коробке девять $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{3}{9}$. После того как произошло событие $A$, в коробке осталось восемь ламп из которых две были в употреблении. Событие $B$ наступает только при условии, что событие $A$ наступило, поэтому для нахождения вероятности события $B$, состоящего в появлении второй раз радиолампы, бывшей в употреблении используем условную вероятность {так как события зависимы} $P_A (B)=\frac{2}{8}$. Следовательно, вероятность появления двух таких ламп может быть найдена по теореме о вероятности произведения зависимых событий - по формуле $ P(C)=P(A\cdot B)=P(A)\cdot P_A (B)=\frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}=\frac{1}{12}. $

Замечание. Из формулы получим формулу для условной вероятности $\begin{equation} \label{eq4} P_B ( A )=\frac{P( {A\cdot B} )}{P( B )} \qquad (4) \end{equation}$