Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Известно, что если случайная величина задана плотностью распределения, то $ P( {\alpha \prec X\prec \beta } )=\int\limits_\alpha ^\beta {f( x )dx} $

Пусть $X$ - задана нормальным законом распределения

$ \begin{array}{l} P( {\alpha \prec X\prec \beta } )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_\alpha ^\beta {e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}dx} =\left| {{\begin{array}{\c} {z=\frac{x-a}{\sigma }} \\ {x=z\sigma +a} \\ {dx=\sigma dz} \\ \end{array} }} \right|=\left| {{\begin{array}{\c} {x=\alpha , z=\frac{\alpha -a}{\sigma }} \\ {x=\beta , z=\frac{\beta -a}{\sigma }} \\ \end{array} }} \right|= \\ =\frac{\sigma }{\sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{\frac{\alpha -a}{\sigma }}^{\frac{\beta -a}{\sigma }} {e^{\frac{-z^2}{2}}} dz=\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_{\frac{\alpha -a}{\sigma }}^{\frac{\beta -a}{\sigma }} {e^{-\frac{z^2}{2}}} dz=\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_{\frac{\alpha -a}{\sigma }}^0 {e^{\frac{-z^2}{2}}dz} +\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_0^{\frac{\beta -a}{\sigma }} {e^{-\frac{z^2}{2}}dz} = \\ =\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_0^{\frac{\beta -a}{\sigma }} {e^{\frac{-z^2}{2}}} dz-\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_0^{\frac{\alpha -a}{\sigma }} {e^{\frac{-z^2}{2}}dz} =\Phi ( {\frac{\beta -a}{\sigma }} )-\Phi ( {\frac{\alpha -a}{\sigma }} ), ( \ast ) \\ \end{array} $

получили формулу Лапласа. В более кратком виде: $P( {\alpha \prec X\prec \beta } )=\Phi ( {\frac{\beta -a}{\sigma }} )-\Phi ( {\frac{\alpha -a}{\sigma }} ) $(*).

Пример. Случайная величина $X$ распределяется по нормальному закону $a=30,\,\sigma =10$. Найти вероятность того, что $X\in ( {10,50} ),\, P( {10\prec X\prec 50} )=\Phi ( {\frac{50-30}{10}} )-\Phi ( {\frac{10-30}{10}} )=$

$ \begin{array}{l} \Phi ( 2 )-( {\Phi ( {-2} )} )=2\Phi ( 2 ),\, \Phi (2)=0,4772\,, отсюда \\ P( {10\prec X\prec 50} )=2\cdot 0,4772=0,9544 \\ \end{array} $