Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности

Будем считать, что производится $n$ независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события $A$ постоянна и равна $р$. Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты $\frac{m}{n}$ от постоянной вероятности $p$ по абсолютной величине не превышает заданного числа $\varepsilon >0$. \begin{equation} \label{eq4} P(\left| {\frac{m}{n}-p} \right|\leqslant \varepsilon )\approx 2 \Phi ( {\frac{\varepsilon n}{\sqrt {npq} }} ) \end{equation}

Пример. Вероятность того, что на станке-автомате будет отштампован корпус некоторого механического устройства, не удовлетворяющий допуску, равна 0,01. Сколько надо изготовить корпусов, чтобы с вероятностью 0.99 ожидать не превосходящее 0.03 по абсолютной величине отклонение относительной частоты появления нестандартного корпуса от вероятности его появления?

Решение. По условию $p=0,01, q=0,99, \varepsilon =0,03$, следовательно, $P(\left| {\frac{m}{n}-0,01} \right|\leqslant 0,03)=0,99$. Можно записать $2 \Phi ( {\frac{0,03n}{\sqrt {n\cdot 0,01\cdot 0,99} }} )=0,99$. Тогда $ \Phi ( {\frac{0,03n}{\sqrt {n\cdot 0,01\cdot 0,99} }} )=0,485$.

Из таблицы находим $ \Phi ( {2,58} )=0,495$. Далее имеем $2,58=\frac{0,03n}{\sqrt {n\cdot 0,01\cdot 0,99} }$ отсюда получим $( {\frac{2,58}{0,03}} )^2=( {\frac{n}{\sqrt {n\cdot 0,01\cdot 0,99} }} )^2$ или $( {\frac{2,58}{0,03}} )^2=\frac{n^2}{n\cdot 0,01\cdot 0,99}$ или $n=( {\frac{2,58}{0.03}} )^2\cdot 0,01\cdot 0,99\approx 74$.