Теоремы Муавра-Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа {1730 г. Муавр и Лаплас}

Если вероятность $p$ появлений события $A$ постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, то вероятность $P_n ( k )$ - того, что событие $A$ появится $k$ раз в $n$ испытаниях, равна приближенно {чем больше $n$, тем точнее} значению функции $y=\frac{1}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }\cdot \frac{1}{\sqrt {2\pi } }\cdot e^{-{x^2} / 2}=\frac{1}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }\cdot \varphi ( x )$

при $x=\frac{k-n\cdot p}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }$. Имеются таблицы, где помещены значения функции $\varphi ( x )=\frac{1}{\sqrt {2\cdot \pi } }\cdot e^{-{x^2} / 2}$

итак \begin{equation} \label{eq2} P_n ( k )\approx \frac{1}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }\cdot \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac{k-n\cdot p}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} } \qquad (2) \end{equation}

функция $\varphi ( x )=\varphi ( {-x} )$ -четная.

Пример. Найти вероятность того, что событие $A$наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании $p=0,2$.

Решение. Если $p=0,2$ тогда $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P_{400} ( {80} )\approx \frac{1}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }\varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac{k-n\cdot p}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }$

$ \begin{array}{l} x=\frac{k-n\cdot p}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }=\frac{80-400\cdot 0,2}{\sqrt {400\cdot 0,2\cdot 0,8} }=\frac{80-80}{\sqrt {400\cdot 0,16} }=0 \\ \varphi ( 0 )=0,3989\,,\,P_{400} ( {80} )\approx \frac{0,3989}{20\cdot 0,4}=\frac{0,3989}{8}=0,0498 \\ \end{array} $

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, тогда вероятность $P_n ( {k_1 ,k_2 } )$ того, что событие $A$ наступит от $k_{1}$ до $k_{2}$ раз в $n$ испытаниях, равна $ P_n ( {k_1 ,k_2 } )\approx \frac{1}{\sqrt {2\cdot \pi } }\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {e^{-{z^2} / 2}dz} =\Phi ( {x_2 } )-\Phi ( {x_1 } )$

где $x_1 =\frac{k_1 -n\cdot p}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} } , x_2 =\frac{k_2 -n\cdot p}{\sqrt {n\cdot p\cdot q} }$ ,где

$\Phi ( x )=\frac{1}{\sqrt {2\cdot \pi } }\int {e^{-{z^2} / 2}dz}$ -находят по таблицам

$\Phi ( {-x} )=-\Phi ( x )$-нечетная

Нечетная функция. Значения в таблице даны для $x=5$, для $x>5,\Phi ( x )=0,5$

Пример. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. Если брака 10%, то стандартных изделий 90%. Тогда по условию, $n=625, p=0,9, q=0,1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Получим $ \begin{array}{l} P_{625} (550,575)\approx \Phi ( {\frac{575-562,5}{\sqrt {625\cdot 0,9\cdot 0,1} }} )- \Phi ( {\frac{550-562,5}{\sqrt {626\cdot 0,9\cdot 0,1} }} )\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1,67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end{array} $