Равномерное распределение

При решении практических задач приходится сталкиваться с различными распределениями случайной величины.

Опр. Распределение случайной величины называется равномерным если, на интервале которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна.

Найдем плотность равномерного распределения $f( x )$ считая, что все возможные значения случайной величины $X$ заключены на интервале $\left[ {a,b} \right]$ и $f( x )=C$.

Найдем $C$. Причем $f( x )=0$ при $x\geqslant b$ и $x\leqslant a$.

Так как все возможные значения случайной величины $X\in ( {a,b} )$ то должно выполнятся соотношение

$\int\limits_a^b {f( x )dx}=1$ или $\int\limits_a^b {Cdx}$. Тогда $Cx\left| {_a^b } \right.=1\Rightarrow C=\frac{1}{b-a} $

Итак: \begin{equation} \label{eq12} f( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,если\,x\leqslant a} \\ {\frac{1}{b-a},если\,a<x\leqslant b} \\ {0,если\,x>b} \\ \end{array} } } \right. \end{equation} Функция плотности равномерного распределения.

График плотности равномерного распределения

ravnomernoe-raspredelenie-0

Числовые характеристики равномерного распределения

  1. Математическое ожидание $M( x )=\int\limits_a^b {xf( x )dx} =\int\limits_a^b {x\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^2}{2}\left| {_a^b } \right.=\frac{b+a}{2} }$
  2. Дисперсия $D( x )=\int\limits_a^b {x^2f( x )dx-M^2( x )=\frac{( {b-a} )^2}{12}} $
  3. Среднее квадратическое отклонение $\sigma ( x )=\frac{b-a}{2\sqrt 3 }$.