Распределение хи - квадрат или распределение Пирсона

Пусть $X_i =( {i=1,2,\ldots ,k} )$ нормальные независимые случайные величины, причём математическое ожидание каждой из них равно 0, среднее квадратичное отклонение = 1. Тогда сумма квадратов этих величин \begin{equation} \label{eq6} \sum\limits_{i=1}^k {X_i^2 =\chi ^2( k )} \qquad (1) \end{equation} распределена по закону $\chi^2$ с $k$ степенями свободы.

Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например $\sum {x_i =n\overline x}$, {где $\overline x-$ среднее значение случайной величины}, то число степеней свободы $k=n-1$

Число $k$ является параметром $\chi ^2( k )$ распределения. Из определения следует, что $\chi ^2( k )\geqslant 0$.

Почему $k-$ число степеней свободы?

Число степеней свободы определяют как разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, ограничивающих свободу этих величин. Т.к. в сумме {1} слагаемые независимы, то число степеней свободы равно числу слагаемых.

Плотность этого распределения

raspredelenie-khi---kvadrat-ili-raspredelenie-pirsona-0

$f( x )=\left\{ {{\begin{array}{/c} {0,\,при\,x\leqslant 0} \\ {\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma ( {\frac{k}{2}} )}\cdot e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{k}{2}-1}} \\ \end{array} }} \right.$, при $x>0$

где $ \Gamma ( x )=\int\limits_0^\infty {t^{x-1}e^{-t}dt} -$ гамма функция. В частности $\Gamma (n+1)=n!$

Видно, что $k$ - параметр $\chi ^2$ распределения. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Кривые $\chi ^2( k )-$ называются кривыми Пирсона. Значения $\chi ^2( k )-$ даны в таблице.

Дисперсия $D( {\chi ^2( k )} )=2k$, если $\chi ^2( {k_1 } )$ и $\chi ^2( {k_2 } )$ независимы, то $\chi ^2( {k_1 } )+\chi ^2( {k_2 } )=\chi ^2( {k_1 +k_2 } )$