Проверка гипотезы о показательном распределении

Функция распределения имеет вид: $ f( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,при\,x<0} \\ {\lambda e^{-\lambda x},при\,x\geqslant 0} \\ \end{array} }} \right. $

  1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline x _b $.
  2. Принять в качестве оценки параметра $\lambda $ величину $\lambda =\frac{1}{\overline x _b }$.
  3. Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( {x_i ,x_{i+1} } )$ по формуле $P_i =P( {x_i <X<x_{i+1} } )=e^{-\lambda x_i }-e^{-\lambda x_{i+1} }$.
  4. Вычислить теоретические частоты $n_i' =np_i $.
  5. Сравнить теоретические и эмпирические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв $k=S-2$.
  6. Строится аналогичная таблица
  7. Выбирают уровень значимости $\alpha $ и вычисляют $\chi _{кр}^2 ( {\alpha ,k} )$
  8. Проверяют критерий $\chi _{набл}^2 <\chi _{кр}^2 ( {\alpha ,k} )$, если неравенство выполняется, то гипотеза не отвергается иначе - отвергается

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline i& n_i & P_i^\ast & n_i' & ( {n_i -n_i' } )& ( {n_i -n_i' } )^2& \frac{( {n_i -n_i' } )^2}{n_i' }& Контроль~ \frac{n_i^2 }{n_i' }\\ \hline 1& & & & & & & \\ \hline 2& & & & & & & \\ \hline 3& & & & & & & \\ \hline 4& & & & & & & \\ \hline 5& & & & & & & \\ \hline 6& & & & & & & \\ \hline & & & & & & \sum = \chi _{набл}^2 & \chi _{набл}^2 =\sum {\frac{n_i^2 }{n_i' }-n} \\ \hline \end{array}

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Функция плотности нормального распределения. $f( x )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }e^{-\frac{( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}$.

Для того, чтобы проверить гипотезу требуется

  1. Вычислить $\overline {x_b } $ и $\sigma _b =\sqrt {D_b } $
  2. Нормируем случайную величину $X$ переходя к случайной величине $Z$ , где $z=\frac{x_i -\overline x _b }{\sigma _b }$, где $x_i -$ концы и начала интервалов. Наименьшее значение $Z=-\infty $ наибольшее $\to +\infty $
  3. Вычисляются теоретические вероятности попадания величины $Z$ в интервал $( {z_i ,z_{i+1} } ), P_i =P( {z_i <Z<z_{i+1} } )=\Phi ( {z_{i+1} } )-\Phi ( {z_i } )$, где $\Phi ( z )-$ функция Лапласа находится из таблиц.
  4. Вычисляют теоретические частоты $n_i' =np_i $, $n$ - объём выборки.
  5. Вычисляют величину $\chi _{набл}^2 =\sum {\frac{( {n_i -n_i' } )^2}{n_i' }} $, контроль $\chi _{набл}^2 =\sum {\frac{n_i^2 }{n_i' }-n} $.
  6. Вычисляют число степеней свободы $k=S-1-r = S-3$, где $S -$ число интервалов.
  7. Строится таблица
  8. Выбирают уровень значимости $\alpha $и вычисляют $\chi _{кр}^2 ( {\alpha ,k} )$
  9. Проверяют критерий $\chi _{набл}^2 <\chi _{кр}^2 ( {\alpha ,k} )$, если неравенство выполняется, то гипотеза принимается иначе - отвергается.

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline i& n_i & Z~интервал& P_i^\ast & n_i' & ( {n_i -n_i' } )& ( {n_i -n_i' } )^2& \frac{( {n_i -n_i' } )^2}{n_i' }& Контроль ~ \frac{n_i^2 }{n_i' }\\ \hline 1& & & & & & & & \\ \hline 2& & & & & & & & \\ \hline 3& & & & & & & & \\ \hline 4& & & & & & & & \\ \hline 5& & & & & & & & \\ \hline 6& & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \sum = \chi _{набл}^2 & \chi _{набл}^2 =\sum {\frac{n_i^2 }{n_i' }-n} \\ \hline \end{array}