Понятие события, операции над событиями

Понятие события

Событие является первоначальным понятием в Т.В. Под событием понимается результат некоторого эксперимента. Т.В. интересуется только тем, произошло событие или нет.

События можно разделить на три класса.

  1. Достоверное событие - всегда происходит в эксперименте - $\Omega $.
  2. Невозможное событие - $\emptyset $- никогда не происходит.
  3. Случайное событие - в одних и тех же условиях может происходить, а может не происходить, обозначается: $A=\left\{ {расшифровка} \right\}$

Например: эксперимент: подбрасываем монеты, результат эксперимента - случайное событие

$A=${монета упала гербом},

$B=${монета упала решкой},

$C=${монета упала ребром}.

В Т.В. событие и эксперимент не разделяют.

Опр Совокупность всех событий для данного эксперимента называется пространством элементарных событий. {Оно может быть конечным или бесконечным}.

Операции над событиями

Опр Произведением событий $A$ и $B$ называется событие С которое происходит тогда когда происходит и $A$ и $B$, обозначается: $C=A\cap B$.

Опр Произведением группы из n - событий - $A_1 \,,\,A_2 \ldots A_n $ есть событие $A$, обозначается $A=A_1 \cap A_2 \cap A_3 \ldots A_n $.

Опр Суммой событий $A$ и $B$ называется третье событие С которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$, обозначается $C=A\cup B$.

Опр Суммой группы событий $A_1 \ldots A_n $ называется событие $C=A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n $.

Опр Разностью событий $A$ и $B$ называется третье событие С которое происходит тогда когда $A$ происходит, а $B$ не происходит: $C=A / {\vphantom {A B}} B$.

Опр Событие $\overline A $ называется противоположным событию $A$, если оно происходит тогда, когда $A$ не происходит.

Опр Говорят, что событие $A$ влечет событие $B$, если при наступлении события $A$ обязательно происходит событие $B$, обозначается: $A\subset B$.

Опр События $A$ и $B$ называются равносильными или тождественными, если $A\subset B$ и $B\subset A$ т.е. при наступлении одного, второе обязательно происходит.

Опр События $A$ и $B$ называются несовместными, если они одновременно происходить не могут $A\cap B=\emptyset $.

Опр Группа событий называется полной, если хотя бы одно из событий происходит обязательно $A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots \cup A_n =\Omega $

Опр Полная группа событий называется полной группой попарно-несовместных событий, если любые два события этой группы одновременно произойти не могут.

Геометрическая интерпретация операций над событиями

Пусть событие $A$ - {выбрали случайные точки, они попали в круг}, $B$ - {точки попали в квадрат}

poniatie-sobytiia-operatsii-nad-sobytiiami-0

Свойства операций над событиями

  1. $A\cap A=A$
  2. $A\cap \overline A =\emptyset $
  3. $A\cap \Omega =A$
  4. $A\cap \emptyset =\emptyset $
  5. $A\cap B=B\cap A$
  6. $A\cap ( {B\cap C} )=( {A\cap B} )\cap C$
  7. $A\cup A=A$
  8. $A\cup \overline A =\Omega $
  9. $A\cup \Omega =\Omega $
  10. $A\cup \emptyset =A$
  11. $A\cup B=B\cup A$
  12. $A\cup ( {B\cup C} )=( {A\cup B} )\cup C$
  13. $A\cap ( {B\cup C} )=( {A\cap B} )\cup ( {A\cap C} )$
  14. $A\cup ( {B\cap C} )=( {A\cup B} )\cap ( {A\cup C} )$

Формулы Де Моргана.

  1. $\overline {A\cup B} =\overline A \cap \overline B $
  2. $\overline {A\cap B} =\overline A \cup \overline B $