Показательное распределение

Показательным или экспоненциальным, называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины $X$, которое описывается плотностью $ f( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0, \,при\,x<0} \\ {\lambda e^{-\lambda x},при\,x\geqslant 0, \,\lambda -const} \\ \end{array} }} \right. $

и имеет один параметр $\lambda $. В этом его преимущество перед другими распределениями.

pokazatelnoe-raspredelenie-0

Найдем функцию распределения $F(x)$ $ \begin{array}{l} F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} =\int\limits_{-\infty }^0 {0dx} +\int\limits_0^x {\lambda e^{-\lambda x}dx} =\left. {\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{-\lambda }} \right|_0^x =-( {e^{-\lambda x}-e^0} )=1-e^{-\lambda x} \\ F( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,\,x\leqslant 0} \\ {1-e^{-\lambda x},\,x\geqslant 0} \\ \end{array} }} \right. \\ \end{array} $

pokazatelnoe-raspredelenie-1

Найдём вероятность попадания в интервал {a,b} случайной величины, распределенной по показательному закону, заданному функцией распределения $ F( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,\,x\leqslant 0} \\ {1-e^{-\lambda x},\,x\geqslant 0} \\ \end{array} }} \right. $

используя формулу

$P( {a\leqslant x<b} )=F( b )-F( a )$ и учитывая, что $F( a )=1-e^{-\lambda a}, F( b )=1-e^{-\lambda b}$, получим $P( {a\leqslant x<b} )=1-e^{-\lambda a}-1+e^{-\lambda b}=e^{-\lambda b}-e^{-\lambda a}$

для $e^{-x}-$ существуют таблицы.

Или $P( {a\leqslant x<b} )=e^{-\lambda b}-e^{-\lambda a}$

Числовые характеристики показательного распределения.

Пусть непрерывная, случайная величина $x$ распределена по показательному закону

$ f( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,\,при\,x<0} \\ {\lambda e^{-\lambda x},\,при\,x\geqslant 0} \\ \end{array} }} \right. $

Найдём математическое ожидание

$M( x )=\int\limits_0^\infty {xf( x )dx}=\lambda \int\limits_0^\infty {xe^{-\lambda x}dx}=$ $\left.| \begin{array}{\c} {u=x} \\ {dv=e^{-\lambda x}dx } \\ \end{array} \begin{array}{\c} {du=dx} \\ {v=\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda }} \\ \end{array} \right.| =\lambda ( -\left. {\frac{xe^{-\lambda x}}{-\lambda }} \right|_0^\infty +\frac{1}{\lambda }\int\limits_0^\infty {e^{-\lambda x}dx} )=$ $= \mathop {\lim }\limits_{A\to \infty } \left. {\frac{x}{e^{\lambda x}}} \right|_0^A -\mathop {\lim }\limits_{A\to \infty } \left. {\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda }} \right|_0^A = \mathop {\lim }\limits_{A\to \infty } ( {\frac{A}{e^{\lambda A}}-\frac{0}{e^{-0\lambda }}} )-\mathop {\lim }\limits_{A\to \infty } \frac{1}{\lambda }( {\frac{1}{e^{\lambda A}}-\frac{1}{e^{0A}}} )=-\frac{1}{\lambda }\mathop {\lim }\limits_{A\to \infty } ( {-\frac{1}{e^{0A}}} )=\frac{1}{\lambda } $

Дисперсия

$D( x )=\int\limits_0^\infty {x^2f( x )dx-M^2( x )} =\lambda \int\limits_0^\infty {x^2e^{-\lambda x}dx}= \left| по\,частям\,дважды \right| -M^2( x )= \frac{2}{\lambda ^2}-\frac{1}{\lambda ^2}=\frac{1}{\lambda ^2} \\ \sigma ( x )=\sqrt {D( x )} =\frac{1}{\lambda }$

Итак, параметры показательного распределения:

Математическое ожидание $M( x )=\frac{1}{\lambda }$.

Дисперсия $D(X)=\frac{1}{\lambda ^2}$.

Среднее квадратическое отклонение $\sigma (X)=\frac{1}{\lambda }$