Плотность распределения

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$ \begin{equation} \label{eq2} {F}'( x )=f( x ) \end{equation}

Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.

Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( {a,b} )$ равна определенному интегралу от плотности. \begin{equation} \label{eq3} P( {a\leqslant X<b} )=\int\limits_a^b {f( x )dx} \end{equation}

Геометрически этот результат можно трактовать так: вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение принадлежащее интервалу $( {a,b} )$ равна площади криволинейной трапеции.


Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения вероятностей $f( x )$ можно найти функцию распределения $F( x )$ по формуле: \begin{equation} \label{eq4} F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} \end{equation}

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график. $ f( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,при\,x=1} \\ {\frac{1}{2},при\,1<x\leqslant 3} \\ {0,при\,x>3} \\ \end{array} }} \right. $

Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.


$F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} $

Воспользуемся формулой

  • при $x\leqslant 1$ из условия $f( x )=0,\Rightarrow F( x )=0 $
  • при $\,1<x\leqslant 2,\, f( x )=\frac{1}{2}$, тогда

$F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx}=\int\limits_{-\infty }^1 {0dx}+\int\limits_1^x {\frac{1}{2}dx}=\frac{1}{2}x\left| {_{_1 }^{^x}} \right.=\frac{x-1}{2} $

если $x>3$, тогда $ F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} =\int\limits_{-\infty }^1 {0dx} +\int\limits_1^3 {\frac{1}{2}dx} +\int\limits_3^x {0dx} =\frac{x}{2}\left| {_{_1 }^{^3} } \right.=1. $

Итак $ F( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,если\,x\leqslant 1} \\ {\frac{x-1}{2},если\,1<x\leqslant 3} \\ {1,если\,x>3} \\ \end{array} }} \right. $

Построим график функции распределения


Свойства плотности распределения

1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )\geqslant 0$.

Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная ${F}'( x )=f( x )$ неотрицательная функция.

Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.

График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.

2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( {-\infty ,\infty } )$ равен 1. \begin{equation} \label{eq5} \int\limits_{-\infty }^\infty {f( x )} dx=1 \end{equation}

Если $X$ задана на $( {a,b} )$, то $\int\limits_a^b {f( x )dx=1} $

Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.