Нормальное распределение. Функция распределения

Нормальное распределение

Опр. Нормальным распределением называется распределение вероятностей, которое описывается плотностью. $ f( x )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\cdot e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}} $ Видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами $a$ и $\sigma $.

Покажем, что $a$- математическое ожидание, $\sigma $- среднее квадратическое отклонение. $ \begin{array}{l} M( x )=\int\limits_{-\infty }^\infty {xf( x )dx=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\cdot \int\limits_{-\infty }^\infty {\begin{array}{l} x\cdot e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}dx= \\ \\ \end{array}} \left| {{\begin{array}{\c} {z=\frac{x-a}{\sigma }} \\ {x=z\sigma +a} \\ {dx=\,\sigma \,dz} \\ \end{array} }} \right|} = \\ =\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^\infty {( {z\sigma +a} )e^{\frac{-z^2}{2}}} \sigma dz=\frac{\sigma ^2}{\sigma \sqrt {2\pi } }\underbrace {\int\limits_{-\infty }^\infty {ze^{\frac{-z^2}{2}}dz} }_{\begin{array}{l} Функция\,нечетная \\ интервал\,симметр. \\ интеграл=0 \\ \end{array}}+ \\ +\frac{a\sigma }{\sigma \sqrt {2\pi } }\underbrace {\int\limits_{-\infty }^\infty {e^{\frac{-z^2}{2}}} dz}_{\begin{array}{l} Интеграл\,Пуассона \\ =\sqrt {2\pi } \\ \end{array}}=a \\ \end{array} $

$ \begin{array}{l} D( x )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } } \int\limits_{-\infty }^\infty e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}} dx=\left| {{\begin{array}{\c} {\frac{x-a}{\sigma }=z} \\ {x=z\sigma +a} \\ {dx=\sigma dz} \\ \end{array} }} \right|=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^\infty {\sigma ^2z^2e^{\frac{-z^2}{2}}} \sigma dz= \\ \frac{\sigma ^2}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^\infty {z\cdot ze^{\frac{-z^2}{2}}} dz=\left| {{\begin{array}{\c} {u=z du=dz} \\ {dv=ze^{\frac{-z^2}{2}}dz v=-e^{\frac{-z^2}{2}}} \\ \\ \end{array} }} \right|= \frac{\sigma ^2}{\sqrt {2\pi } }( {\underbrace {-ze^{\frac{-z^2}{2}}\left| {_{-\infty }^\infty } \right.} _0+\underbrace {\int\limits_{-\infty }^\infty {e^{\frac{-z^2}{2}}dz} }_{\sqrt {2\pi } }} )=\sigma ^2 \\ \sigma =\sqrt {D( x )} =\sqrt {\sigma ^2} =\sigma \\ \end{array} $

Нормальное распределение. Функция распределения

Нормальное распределение описывается плотностью распределения вероятностей $ f( x )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}. $ Из функции $f( x )$ видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами $a$ и $\sigma $.

Известно, что $a-$ математическое ожидание, а $\sigma-$ среднее квадратическое отклонение. Нормальное распределение с параметрами $a=0,\,\sigma =1$ называется нормированным или Гауссовым.

Его плотность $\varphi ( x )=\frac{1}{\sqrt {2\pi } }e^{\frac{-x^2}{2}} $ Значения этой функции приведены в таблицах. Если $a$ и $\sigma- $произвольны, то распределение называется общим.

Функция распределения $F( x )$общего распределения, есть $ F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} =\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^x {e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}dx} $

Для нормированного распределения {Гауссово распределение}. $ F_0 ( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} =\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^x {e^{\frac{-x^2}{2}}dx} $

Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал $( {0,x} )$ можно найти, пользуясь функцией Лапласа. $ \Phi ( x )=\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_0^x {e^{\frac{-x^2}{2}}} dx $

Действительно

$P( {0<X<x} )=\int\limits_0^x {\varphi ( x )dx} =\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_0^x {e^{\frac{-x^2}{2}}} dx=\Phi ( x )$, где $\varphi ( x )=\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\cdot e^{-{x^2} / 2}$

Учитывая, что $\int\limits_{-\infty }^\infty {\varphi ( x )dx} =1$ и в силу симметрии $\varphi ( x )$ относительно нуля $\int\limits_{-\infty }^0 {\varphi ( x )dx=0,5} $

Значит $P( {-\infty <x<0} )=0,5$

Это легко получить:

$F( x )=\Phi ( x )+0,5-$ докажем, это: $ F( x )=P( {-\infty <X<x} )=P( {-\infty <x<0} )+P( {0<X<x} )=0,5+\Phi ( x ) $

График функции распределения.

Для Гауссовой кривой, при $a=0$, $sigma =1$, $F_ ( x )=\frac{1}{\sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^x {e^{\frac{-x^2}{2}}dx}$

normalnoe-raspredelenie-0

И для общего нормального распределения, при произвольных $a$ и $\sigma$

$F( x )=\int\limits_{-\infty }^x {f( x )dx} =\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{-\infty }^x {e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}dx}$

normalnoe-raspredelenie-1