Нормальная кривая

График плотности нормального распределения, называется нормальной кривой {кривой Гаусса}.

$f( x )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}$

Исследуем функцию и построим график

1). Функция определена на интервале $( {-\infty ,\infty } )$ $ \mathop {\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}}{\sigma \sqrt {2\pi } }=0, \,\mathop {\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}}{\sigma \sqrt {2\pi } }=0 $

2). Найдем точки, подозреваемые на экстремум $y'=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}\cdot ( {-\frac{2}{2\sigma ^2}( {x-a} )} )=0$.

Здесь $x=a-$ критическая точка, $ y'( {x<a} )>0$, $y'( {x>a} )<0$, $x=a, y( a )=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }-$ максимум.

3). Найдем точки, подозреваемые на перегиб, для этого найдем вторую производную:

$y"=( {\frac{-( {x-a} )}{\sigma ^3\sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}} )_x^{'} =-( {\frac{1}{\sigma ^3\sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}} )+\frac{( {x-a} )}{\sigma ^3\sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}\cdot ( {-( {\frac{2( {x-a} )}{2\sigma ^2}} )} )=-\frac{1}{\sigma ^3\sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}( {1-\frac{( {x-a} )^2}{\sigma ^2}} )=0$

получим $\sigma =\pm (x-a)$ или $x=a\pm \sigma -$ точки подозреваемые на перегиб. Представим производную в виде:

$y"=-\frac{1}{\sigma ^3\sqrt {2\pi } }e^{\frac{-( {x-a} )^2}{2\sigma ^2}}( {\frac{( {\sigma -( {x-a} )} )( {\sigma +( {x-a} )} )}{\sigma ^2}} )=0 \Rightarrow x=\sigma +a, \Rightarrow x=a-\sigma $ точки подозреваемые на перегиб. Составим таблицу:

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline x & -\infty, a-\sigma & a-\sigma & a-\sigma, a & a & a,\sigma +a & \sigma +a & \sigma +a,+\infty \\ \hline y' & + & & + & 0 & - & & - \\ \hline y & \uparrow & & \uparrow & \frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\max & \downarrow & & \downarrow \\ \hline y'' & \succ 0 & 0 & \prec 0 & \frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } }\max & \prec 0 & 0 & \succ 0 \\ \hline y & вогнута & \frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi } e} & выпукла & & выпукла & перегиб & вогнута \\ \hline \end{array}

Получим график функции плотности распределения вероятностей нормального распределения, который называется нормальной кривой.

Гауссово распределение

normalnaia-krivaia-0

normalnaia-krivaia-1