Начальные и центральные теоретические моменты

Опр Начальным моментом порядка $k$ случайной величины $X$ называется математическое ожидание величины $X^k$ для дискретной случайной величины \begin{equation} \label{eq1} \nu _k =M( {X^k} ) \qquad (1) \end{equation}

и для непрерывной величины $\nu _k =\int\limits_{-\infty }^\infty {x^kf( x )dx}$ при $k=1$ получаем $ \nu _1 =M( X ) $ математическое ожидание случайной величины $Х$

При $k=2$ получаем $ \nu _2 =M( {X^2} ) $ математическое ожидание $X^2$.

Используя эти моменты можно формулу дисперсии записать в виде: \begin{equation} \label{eq2} D( X )=M( {X^2} )-( {M( X )} )^2=\nu _2 -\nu _1 ^2 \qquad (2) \end{equation}

Кроме моментов случайной величины $X$ рассмотрим моменты отклонения $X-M( X )$

Опр. Центральным моментом порядка $k$ случайной величины $X$ наз. математическое ожидание величины $( {X-M( X )} )^k$ {отклонения} \begin{equation} \label{eq3} M_k =M( {X-M( X )} )^k \qquad (3) \end{equation} при $k=1$ имеем: \begin{equation} \label{eq4} M_1 =M( {X-M( X )} )=0 \qquad (4) \end{equation}

Математическое ожидание отклонения

при $k=2$ имеем: \begin{equation} \label{eq5} M_2 =M( {X-M( X )} )^2=D( X ) \qquad (5) \end{equation}

Момент называется центральным, т.к. отклонение от {центра} - математического ожидания.

Для непрерывной величины $ M_k =\int\limits_{-\infty }^\infty {( {X_i -M( X )} )^kf( x )dx} $

сравнивая {2} и {5} получим: $ \nu _2 -\nu _1^2 =M_2 $

исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получим $ \begin{array}{l} M_3 =\nu _3 -3\nu _2 \nu _1 +2\nu _1 ^3 \\ M_4 =\nu _4 -4\nu _3 \nu _1 +6\nu _2 \nu _1 ^2-3\nu _1^4 \\ \end{array} $

Моменты более высоких порядков применяются редко.