Методы нахождения оценок

Метод моментов и метод максимального правдоподобия являются основными методами нахождения оценок. Метод моментов предложен К. Пирсоном. Согласно методу моментов, определённое количество выборочных моментов {начальных $\nu _k^\ast $ или центральных $M_k^\ast $ или тех и других} приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения $(\nu _k$ или $M_k)$ случайной величины $X$.

Оценки метода моментов обычно состоятельны, однако по эффективности не являются лучшими.

Основной метод получения оценок параметров Г.С. по данным выборки является метод максимального правдоподобия, предложенный Р. Фишером.

Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности {вероятность} совместного появления результатов выборки $x_1 ,x_2 ,\ldots ,x_n $

$ L( {x_1 ,x_2 ,\ldots ,x_n ,\theta } )=\varphi ( {x_1 ,\theta } )\cdot \varphi ( {x_2 ,\theta } )\ldots \varphi ( {x_n ,\theta } ). $

Согласно методу М.П., в качестве оценки неизвестного параметра $\theta $ принимается такое значение $\theta _n $, которое максимизирует функцию $L$. Функция правдоподобия при каждом фиксированном значении параметра $\theta $ является мерой правдоподобности получения наблюдений $x_1 ,x_2 ,\ldots ,x_n $. И оценка $\theta _n $ такова, что имеющиеся наблюдения $x_1 ,x_2 ,\ldots ,x_n $ являются наиболее правдоподобными.

Для отыскания оценки параметра $\theta $ {одного или нескольких} надо решить уравнение {или систему уравнений} правдоподобия

$\frac{d\ln L}{d\theta }=0$ или $\frac{1}{L}\cdot \frac{dL}{d\theta }=0$

и отобразить то решение, которое обращает $ln L$ в максимум.

Оценками метода максимального правдоподобия математического ожидания $a$ и дисперсии $D^{2}$ нормально распределенной случайной величины являются, соответственно выборочная средняя $\overline x $ и выборочная дисперсия $D_b^2 $.

Важность метода максимального правдоподобия связана с его оптимальными свойствами. Так если для параметра $\theta $ существует эффективная оценка $\tilde {\theta }_n^э $, то оценка максимального правдоподобия единственная и равна $\tilde {\theta }_n^э $. Кроме того, при достаточно общих условиях оценки максимального правдоподобия являются состоятельными, асимптотически эффективными и имеют асимптотически нормальное распределение.

Основной недостаток метода максимального правдоподобия - трудность вычисления оценок, связанных с решением уравнений правдоподобия, чаще всего не линейных. Кроме того, для построения оценок максимального правдоподобия необходимо точное знание типа анализируемого закона распределения $\varphi (х,\theta )$, что во многих случаях практически нереально.

Далее:

Теорема Остроградского

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

Полином Жегалкина. Пример.

Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Свойства двойного интеграла

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о несамодвойственной функции

Поток векторного поля через поверхность

Формула Грина

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Теорема об алгоритме распознавания полноты

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Огравление $\Rightarrow $